Polstellen gebrochenrationaler Funktionen

Question

unter einer polstelle k-ter ordnung einer gebrochenrationalen Funktion f(x)  versteht man eine reelle Zahl x0, für die es ganzrationale Funktionen  n**(x),z**(x) so gibt, dass n**(x0) ist nicht gleich 0, z**(x0) ist nicht gleich 0  |||||| und |||||

f(x)= z**(x)/n**(x) mal 1/(x-x0)^k .

was das bedeutet weiß ich nicht gut genug, deshalb bitte ich um aufklärung, wäre nett mfg danke im voraus

Answer 1

x0 Darf keine Nullstelle des Zählerpolynoms sein und genau k-fache Nullstelle des Nennerpolynoms.

Spaltet man also die kfache Nullstelle vom restlichen Bruch ab erhältst du

f(x) = Zähler(x) / Nenner(x) * 1 / (x - x0)^k

Nun gilt also wenn du x0 einsetzt, dass

Zähler(x0) ≠ 0

Nenner(x0) ≠ 0

aber

(x0 - x0)^k = 0 --> Hier spricht man von einer kfachen Nullstelle.

Answer 2

  Tas ässt gefasel, Oonfoog oond Oonsänn .  Wer immer das geschrieben hat, dem fählt tii sättliche Reufe .

   x0 heißt Polstelle n-ter Ordnung von f ( x ) , falls

   g  (  x  )  :=  f  (  x  )  (  x  -  x0  )  ^ n     (  1  )

    stetig ist in einer ( offenen ) Umgebung von x0 . Und zwar ist

   g0  :=  g  (  x0  )  :=            lim                    g  (  x  )         (  2  )

                                          x ===>  x0

   Der Grenzwert   (  2  )  ist ja definiert, da g eine stetige Funktion ist; ferner soll die Ungleichung gelten

          g0  <  >  0      (  3  )

   Denn würden wir g0  =  0  zulassen, könnte ja n  in ( 1 )  (  fast  )  alles sein  .

Comments

   Ich find das bissele verwirrend, was der Mathecoach sagt . Die ===> Funktionernteorie betont ausdrücklich , Polstellen seien  "  außerwesentlich "  Damit ist gesagt: Wenn du die Funktion multiplizierst mit ( x - x0 ) ^ n , dann ist die Polstelle weg; die Zählerfunktion benimmt sich brav stetig .

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  Ich lese grade dein klein Gedrucktes - Polsatelle einer GEBROCHEN RATIONALEN FUNKTION

  So als wenn ===>  transzendente Funktionen keine Polstellen haben. Was für einen Pol hat

    g  (  x  )  :=  sin  (  x  )  /  x       (  2.1  )

   bei x0  =  0  ?  Gar keinen; g ( x ) ist ===>  stetig ergänzbar. Bist du schon der Krankenhausregel mächtig? Und

    f  (  x  )  :=  sin  (  x  )  /  x  ²           (  2.2  )

   hat keinen Pol zweiter, sondern nur erster Ordnung . Denn multiplizierst du  f in ( 2.2 ) mit x ^ 1 , so landest du bei g  in ( 2.1 ) Und wir hatten gesagt g ist stetig .