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Wie löst man diese Ungleichung |x-1|>|x+1|?

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3 Antworten

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| x - 1 | > | x + 1 |     | ( ... ) ^2  Dann braucht man, meine ich, keine Fallunterscheidung, da: ( | x | )^2 = x^2

( x - 1 ) ^2 > ( x + 1 ) ^2

x^2 - 2 * x + 1 > x^2 + 2 * x + 1    | - 1

x^2 - 2 * x > x^2 + 2 * x

x^2 - 4 * x > 0

x * ( x - 4 ) > 0

=> x < 0

=> x > 4

Gruß

Smitty

Avatar von 5,4 k

Hallo Smitty,

Ja, das funktioniert. Du musst aber nicht den Satz vom Nullprodukt verwenden:

|x-1|>|x+1|    |(...)^2

(x-1)^2>(x+1)^2

x^2-2x+1>x^2+2x+1   | x^2 und +1 wegstreichen

-2x>2x    |-2x

-4x>0     |:(-4)

x>0

In der Intervallschreibweise (-∞, 0)


Habe mich mal kurz angemeldet, voll vergessen, dad ich off war:)

Erstmal danke für die Antworten.

]-infty,0[ stimmt natürlich auch laut Wolfram.

Allerdings hätte mich der Weg über die Fallunterscheidung sehr interessiert, denn den bekomme ich irgendwie nicht hin.

1 Fall x<-1:

x-1<x+1 <=> 0<2 w.A

=> ]-infty,-1[ und R=]-infty,-1[

Alleine hier fangen die Probleme doch schon an, denn die -1 wird schon ausgeschlossen und eine Kompination zu ]-infty,0[ ist nun nicht mehr möglich.

Wo ist der Fehler?

@Racine

-4x>0    |:(-4)

0

In der Intervallschreibweise (-∞, 0)

Das muss wohl  x < 0 lauten

-----------

@Smitty

x2 - 2 * x > x2 + 2 * x

x2 - 4 * x > 0

Da ist wohl  -4x > 0  ...   richtig 

Ja, das meine ich Wolfgang!

+1 Daumen

Allerdings hätte mich der Weg über die
Fallunterscheidung sehr interessiert, denn den
bekomme ich irgendwie nicht hin.

gm-180.jpg
gm-180a.jpg

x < 0

Avatar von 123 k 🚀

Morgen:)

Das habe ich ja auch, bis auf x<0...

Wie soll dies aber gehen, denn die -1 ist doch in keinen der Intervalle drinnen oder irre ich mich?

Denn wen -1 weder im ersten nich im zweiten Intervall ist, kann man doch nicht einfach beim Zusammenfügen, -1 reinnehmen oder?

Welche Stelle in meiner Antwort meinst du ?
Es gibt 3 Intervalle die untersucht werden müssen
x < -1
-1 < x < 1
x > 1

Richtig, so habe ich es ja auch und man kommt zum Schluss auf:

x<-1 und -1<x<1

Also

]-infty,-1[ und ]-1,1[

Meine Frage ist, wie man dann auf

]-infty, 0[ kommt, obwohl die -1 in den oberen Intervallen nicht drinnen liegt?

Schau dir mal meine obere Rechnung an, vielleicht ist es dann klarer, wo mein Problem liegt:)


Wenn es so hier wäre:

]-infty,-1] und [-1,1[ also die -1 in den Intervallen, könnte man ja ]-infty, 0[ schreiben, aber dies ist ja nicht der Fall?

Ich habe deinen angesprochen Fehlerpunkt noch
nicht gefunden.

Ich führe den Fall 2 einmal an
-1 < x < 1
| x - 1 | > | x + 1 |
Den Wertebereich eingesetzt in | x - 1 | ergibt sich
-1(+) - 1  =  minus 2
 1(-) - 1  = minus klitzeklein

Im gesamten Wertebereich ist
x - 1  negativ und muß daher mit (-1)
multpliziert werden.
( x -1 ) * ( -1 ) = -x + 1

Eingesetzt in | x + 1 | ergibt sich
-1(+) + 1  =  plus klltzeklein
1(-) + 1  = plus 2

Im gesamten Wertebereich ist
x + 1  positiv . Die Absolutstriche können
entfallen
x + 1

Fall 2 ist
-x + 1 > x + 1
-2x > 0
x < 0

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
ergibt sich
( -1 < x < 1  ) und ( x < 0 )

-1 < x < 0

Ich kann weiter behilflich sein.
Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

Die Frage ist, wie man auf das Lösungsintervall ]-infty,0[ kommt.

Denn ]-infty,-1[ und ]-1,0[  != ]-infty,0[ oder?


Der Lösungsintervall ]-infty,0[ impliziert ja, dass -1 eine Element von ]-infty,0[ ist, allerdings ist -1 doch keine Element der zwei Teilintervalle ]-infty,-1[ und ]-1,0[, also kann der Lösungsintervall ja mit den Teilintervallen nicht korrekt sein.

Da aber der Lösungsintervall ]-infty,0[ korrekt ist (laut Wolfram), müssen die Teilintervalle nicht stimmen, oder?

Habe gerade gesehen, dass ich in meinem letzten Post statt ]-1,0[, ]-1,1[ geschrieben habe, lag am kopieren ohne es zu prüfen, in meiner Lösung (unten) ist der Fehler nicht vorhanden.

Der klitzkleine Fehler liegt bei mir

Ich führe den Fall 2 einmal an
-1 < x < 1

ganz richtig muß es heißen
-1 1

Dann hätte man ja im 2.Fall die  Teilintervalle hier:

[-1,1] und ]-infty,0[  und da kann man ja nichts ändern, denn die 0 ist zwar Element von [-1,1], aber nicht von ]-infty,0[.

1

Also hätte man dann die Endteilintervalle:

[-1,1] und ]-infty,0[  und ]-infty,-1[

Kommt man denn dann auf  ]-infty,-0[

Vlt sollte man die Intervalle so hier wählen?blob.png Dennoch besteht das Anfangsproblem

Bei mir muß es heißen
( ganz oben )

| x -1 | > | x +1 |
Fallunterscheidung
x - 1 0
x 1
x + 1
x -1

Wenn du meine Berechnungen mit diesen
Relationszeichen korrigierst
müsstest du hinkommen.

Also meine Rechnung stimmt, nur sollte man zum Schluss mit dem logischen oder die Teilintervalle zusammenführen und damit kommt man auf ]-infty,0[



Ich danke dir für die Mitarbeit und wünsche noch ein schönes Wochenende.

Falls du dir nicht sicher bist ob die
x = -1 mit zur Lösungsmenge gehört dann setze
einfach ein

| x -1 | > | x + 1 |
x = -1
| -1 -1 | > | -1 + 1 |
2 > 0
Beweis erbracht

@georgborn

Es gibt 3 Intervalle die untersucht werden müssen
x < -1
-1 < x < 1
x > 1

da fehlen die Intervallgrenzen:

Bei welchem der aneinandergrenzenden Intervalle du die Intervallgrenze jeweils mitnimmst, ist egal.

-1
-1 < x  1
x > 1

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Hallo gabba,

Allerdings hätte mich der Weg über die Fallunterscheidung sehr interessiert

Die Nullstellen x1 = -1  und x2 = 1  der Terme in Beträgen ergeben die Intervallgrenzen für die Fallunterscheidung:

x-1--1-1+
x+1--1+1+

Damit hast du in den 3 Intervallen das jeweilige Vorzeichen der Beträge und kannst diese bei + weglassen bzw. bei  - durch -Term ersetzen. Bei welchem der aneinandergrenzenden Intervalle du die Intervallgrenze jeweils mitnimmst, ist egal.

Damit ergibt sich für jeden der 3 Fälle eine betragsfreie Gleichung. Deren Lösungsmengen musst du zur Gesamtlösungsmenge  ] − ∞ ; 0 [vereinigen.

Gruß Wolfgang

Avatar von 86 k 🚀

danke für die Antwort allerdings verstehe ich den dritten Intervall nicht, müsste bei x>1 nicht überall ein + sein?

Hier mal meine Lösung, leider finde ich den Fehler nicht selbst:(

blob.png

müsste bei x>1 nicht überall ein + sein?

ja, das war ein Tippfehler, habe ihn korrigiert.


Bei welchem der aneinandergrenzenden Intervalle du die Intervallgrenze jeweils mitnimmst, ist egal.
1. Fall: x ≤ - 1
....In deiner letzen Zeile muss stehen:

L = L1 L2 = ] - ∞ , -1 ] ] -1 , 0 [  = ] - ∞ , 0 [  

Achja, es ist das logische oder und nicht und.... Ach man :)

Dankeschön

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