Question

Wie löst man diese Ungleichung |x-1|>|x+1|?

Answer 1

| x - 1 | > | x + 1 |     | ( ... ) ^2  Dann braucht man, meine ich, keine Fallunterscheidung, da: ( | x | )^2 = x^2

( x - 1 ) ^2 > ( x + 1 ) ^2

x^2 - 2 * x + 1 > x^2 + 2 * x + 1    | - 1

x^2 - 2 * x > x^2 + 2 * x

x^2 - 4 * x > 0

x * ( x - 4 ) > 0

=> x < 0

=> x > 4

Gruß

Smitty

Comments

Hallo Smitty,

Ja, das funktioniert. Du musst aber nicht den Satz vom Nullprodukt verwenden:

|x-1|>|x+1|    |(...)^2

(x-1)^2>(x+1)^2

x^2-2x+1>x^2+2x+1   | x^2 und +1 wegstreichen

-2x>2x    |-2x

-4x>0     |:(-4)

x>0

In der Intervallschreibweise (-∞, 0)

https://www.desmos.com/calculator/vn2akmqccx

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Habe mich mal kurz angemeldet, voll vergessen, dad ich off war:)

Erstmal danke für die Antworten.

]-infty,0[ stimmt natürlich auch laut Wolfram.

Allerdings hätte mich der Weg über die Fallunterscheidung sehr interessiert, denn den bekomme ich irgendwie nicht hin.

1 Fall x<-1:

x-1<x+1 <=> 0<2 w.A

=> ]-infty,-1[ und R=]-infty,-1[

Alleine hier fangen die Probleme doch schon an, denn die -1 wird schon ausgeschlossen und eine Kompination zu ]-infty,0[ ist nun nicht mehr möglich.

Wo ist der Fehler?

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@Racine

-4x>0    |:(-4)

x > 0

In der Intervallschreibweise (-∞, 0)

Das muss wohl  x < 0 lauten

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@Smitty

x² - 2 * x > x² + 2 * x

x² - 4 * x > 0

Da ist wohl  -4x > 0  ...   richtig 

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Ja, das meine ich Wolfgang!

Answer 2

Allerdings hätte mich der Weg über die
Fallunterscheidung sehr interessiert, denn den
bekomme ich irgendwie nicht hin.

x < 0

Comments

Morgen:)

Das habe ich ja auch, bis auf x<0...

Wie soll dies aber gehen, denn die -1 ist doch in keinen der Intervalle drinnen oder irre ich mich?

Denn wen -1 weder im ersten nich im zweiten Intervall ist, kann man doch nicht einfach beim Zusammenfügen, -1 reinnehmen oder?

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Welche Stelle in meiner Antwort meinst du ?
Es gibt 3 Intervalle die untersucht werden müssen
x < -1
-1 < x < 1
x > 1

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Richtig, so habe ich es ja auch und man kommt zum Schluss auf:

x<-1 und -1<x<1

Also

]-infty,-1[ und ]-1,1[

Meine Frage ist, wie man dann auf

]-infty, 0[ kommt, obwohl die -1 in den oberen Intervallen nicht drinnen liegt?

Schau dir mal meine obere Rechnung an, vielleicht ist es dann klarer, wo mein Problem liegt:)

Wenn es so hier wäre:

]-infty,-1] und [-1,1[ also die -1 in den Intervallen, könnte man ja ]-infty, 0[ schreiben, aber dies ist ja nicht der Fall?

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Ich habe deinen angesprochen Fehlerpunkt noch
nicht gefunden.

Ich führe den Fall 2 einmal an
-1 < x < 1
| x - 1 | > | x + 1 |
Den Wertebereich eingesetzt in | x - 1 | ergibt sich
-1(+) - 1  =  minus 2
 1(-) - 1  = minus klitzeklein

Im gesamten Wertebereich ist
x - 1  negativ und muß daher mit (-1)
multpliziert werden.
( x -1 ) * ( -1 ) = -x + 1

Eingesetzt in | x + 1 | ergibt sich
-1(+) + 1  =  plus klltzeklein
1(-) + 1  = plus 2

Im gesamten Wertebereich ist
x + 1  positiv . Die Absolutstriche können
entfallen
x + 1

Fall 2 ist
-x + 1 > x + 1
-2x > 0
x < 0

Zusammen mit der Eingangsvoraussetzung
ergibt sich
( -1 < x < 1  ) und ( x < 0 )

-1 < x < 0

Ich kann weiter behilflich sein.
Frag nach bis alle Klarheiten beseitigt sind.

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Die Frage ist, wie man auf das Lösungsintervall ]-infty,0[ kommt.

Denn ]-infty,-1[ und ]-1,0[  != ]-infty,0[ oder?

Der Lösungsintervall ]-infty,0[ impliziert ja, dass -1 eine Element von ]-infty,0[ ist, allerdings ist -1 doch keine Element der zwei Teilintervalle ]-infty,-1[ und ]-1,0[, also kann der Lösungsintervall ja mit den Teilintervallen nicht korrekt sein.

Da aber der Lösungsintervall ]-infty,0[ korrekt ist (laut Wolfram), müssen die Teilintervalle nicht stimmen, oder?

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Habe gerade gesehen, dass ich in meinem letzten Post statt ]-1,0[, ]-1,1[ geschrieben habe, lag am kopieren ohne es zu prüfen, in meiner Lösung (unten) ist der Fehler nicht vorhanden.

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Der klitzkleine Fehler liegt bei mir

Ich führe den Fall 2 einmal an
-1 < x < 1

ganz richtig muß es heißen
-1 ≤ x ≤ 1

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Dann hätte man ja im 2.Fall die  Teilintervalle hier:

[-1,1] und ]-infty,0[  und da kann man ja nichts ändern, denn die 0 ist zwar Element von [-1,1], aber nicht von ]-infty,0[.

1

Also hätte man dann die Endteilintervalle:

[-1,1] und ]-infty,0[  und ]-infty,-1[

Kommt man denn dann auf  ]-infty,-0[

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Vlt sollte man die Intervalle so hier wählen? Dennoch besteht das Anfangsproblem

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Bei mir muß es heißen
( ganz oben )

| x -1 | > | x +1 |
Fallunterscheidung
x - 1 ≥ 0
x ≥ 1
x + 1 ≥ 0 
x ≥ -1

Wenn du meine Berechnungen mit diesen
Relationszeichen korrigierst
müsstest du hinkommen.

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Also meine Rechnung stimmt, nur sollte man zum Schluss mit dem logischen oder die Teilintervalle zusammenführen und damit kommt man auf ]-infty,0[

Ich danke dir für die Mitarbeit und wünsche noch ein schönes Wochenende.

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Falls du dir nicht sicher bist ob die
x = -1 mit zur Lösungsmenge gehört dann setze
einfach ein

| x -1 | > | x + 1 |
x = -1
| -1 -1 | > | -1 + 1 |
2 > 0
Beweis erbracht

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@georgborn

Es gibt 3 Intervalle die untersucht werden müssen
x < -1
-1 < x < 1
x > 1

da fehlen die Intervallgrenzen:

Bei welchem der aneinandergrenzenden Intervalle du die Intervallgrenze jeweils mitnimmst, ist egal.

x ≤ -1
-1 < x ≤ 1
x > 1

Answer 3

Hallo gabba,

Allerdings hätte mich der Weg über die Fallunterscheidung sehr interessiert

Die Nullstellen x₁ = -1  und x₂ = 1  der Terme in Beträgen ergeben die Intervallgrenzen für die Fallunterscheidung:

x-1	-	-1	-	1	+
x+1	-	-1	+	1	+

Damit hast du in den 3 Intervallen das jeweilige Vorzeichen der Beträge und kannst diese bei + weglassen bzw. bei  - durch -Term ersetzen. Bei welchem der aneinandergrenzenden Intervalle du die Intervallgrenze jeweils mitnimmst, ist egal.

Damit ergibt sich für jeden der 3 Fälle eine betragsfreie Gleichung. Deren Lösungsmengen musst du zur Gesamtlösungsmenge  ] − ∞ ; 0 [vereinigen.

Gruß Wolfgang

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danke für die Antwort allerdings verstehe ich den dritten Intervall nicht, müsste bei x>1 nicht überall ein + sein?

Hier mal meine Lösung, leider finde ich den Fehler nicht selbst:(

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müsste bei x>1 nicht überall ein + sein?

ja, das war ein Tippfehler, habe ihn korrigiert.

Bei welchem der aneinandergrenzenden Intervalle du die Intervallgrenze jeweils mitnimmst, ist egal.

1. Fall: x ≤ - 1
....In deiner letzen Zeile muss stehen:

L = L₁ ∪ L₂ = ] - ∞ , -1 ] ∪ ] -1 , 0 [  = ] - ∞ , 0 [  

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Achja, es ist das logische oder und nicht und.... Ach man :)

Dankeschön