Ungleichung 1/x>-1/|x-1| lösen

Question

Wie löst man diese Ungleichung 1/x>-1/|x-1| ?

Comments

Leider fehlt dort ein Minus, es muss 1/x>-1/|x-1| lauten, sorry:(

Answer 1

Lösung per Fallunterscheidung

1/x > - 1/|x - 1|

Fall 1: x < 0

1/x > 1/(x - 1)
x - 1 > x
- 1 > 0 --> Keine Lösung

Fall 2: 0 < x < 1

1/x > 1/(x - 1)
x - 1 < x
- 1 < 0 --> Lösung: 0 < x < 1

Fall 3: x > 1

1/x > -1/(x - 1)
x - 1 > -x
2x > 1
x > 0.5 --> Lösung: x > 1

Comments

Fall 2: 0 < x < 1

1/x > 1/(x - 1)
x - 1 < x
- 1 < 0 --> Lösung: 0 < x < 1

Wieso ändert sich hier das Vorzeichen?

Man hat doch dort eigentlich stehen:

1/x > -1/-(x - 1)  <=> 1/x > 1/(x - 1)  <=> x - 1 > x ?

Also Minus durch Minus ergibt doch +?

---

Hast du dir ja bereits richtig beantwortet. - durch - ergibt +.

1/x > 1/(x - 1)  <=> x - 1 > x

Mit x multiplizieren ist in ordnung.

wenn du mit x - 1 multiplizierst, multiplizierst du mit einem negativen Wert und das Ungleichheitszeichen kehrt sich um.

1/x > 1/(x - 1)  <=> x - 1 < x

---

Genau, aber wie kommt dann der Vorzeichenwechsel zustande?

Denn wenn beide Nenner positiv sind, ändert sich doch nichts?

---

Denn wenn beide Nenner Null sind, ändert sich doch nichts?

Drück dich mal besser aus. Nenner dürfen eh nie Null werden.

Geht es um das Ungleichheitszeichen? Dann habe ich das oben angefügt, warum sich das ändert.

---

Drück dich mal besser aus. Nenner dürfen eh nie Null werden.

Ich meinte nicht Null sondern positiv:) habe es leider langsamer geändert, als du geantwortet hast.

wenn du mit x - 1 multiplizierst, multiplizierst du mit einem negativen Wert und das Ungleichheitszeichen kehrt sich um.

Warum ist dieser Wert negativ?

Nehmen wir mal an dort würde (x+1) stehen, gilt dann dasselbe?

Sry, für die vielen Fragen, aber dieses Thema ist die Hölle:)

---

Welches Vorzeichen hat (x - 1) wenn du einen Wert 0 < x < 1 für x einsetzt. Setz doch mal ein paar Beispielwerte ein.

---

Ach stimmt, macht Sinn :) Danke für die Hilfe

Answer 2

Die Ungleichung gilt nur für positive x. Quadrieren ergibt 1/x²>1/(x-1)² und dann x²-2x+1>x² oder x<1/2.

Lösungsmenge ist das Intervall ]0;1/2[.

Comments

Ich habe mich einmal Registriert.

Laut Wolfram kommt allerdings etwas anderes heraus, nämlich

x>0 und 0<x<1.

Ich versuche nun schon seit Stunden dies mit einer Fallunterscheidung zu lösen, denn dies ist die Aufgabe.

Konkret lautet die Aufgabe:

Lösen die die Ungleichung  1/x+1/|x-1| >0 mittels Fallunterscheidung.

PS ich habe die Aufgabe leider falsch umgeformt, es müsste 1/x>-1/|x-1| lauten.

---

Die Ungleichung 1/x+1/|x-1| >0 hat die Lösung ℝ⁺.

---

1.Fall: x<0: x-1>-x <=> x>1/2  Also (-∞,0) Λ (1/2,∞) = {}

2.Fall: 0<x<1: 1/x > -1/-(x-1) <=> 1/x > 1/(x-1) <=>x-1>x <=> -1>0 Widerspruch

3.Fall: 1>x: x-1>-x <=> x>1/2  Also  (1,∞) Λ (1/2,∞) = (1,∞)

Es soll aber x>0 und 0<x<1. herauskommen 

---

Die Ungleichung 1/x+1/|x-1| >0 hat die Lösung ℝ+.

Wolframalpha sagt aber etwas anderes?

https://www.wolframalpha.com/input/?i=1%2Fx%2B1%2F%7Cx-1%7C+%3E0

---

Es kommt x>0 heraus.

---

Ok.

Dann hätte ich noch zwei Fragen, wie kommt man mittels Fallunterscheidung auf die Lösung? Und wie benutzt mal Wolframalpha so, dass er einem die Lösung anzeigt?

Aber x>0 geht doch auch gar nicht, denn für 1 ist die Gleichung nicht lösbar?

Ich habe mich auch bei Wolfram verlesen, es soll x>1 und 0<x<1.

---

Wolframalpha

https://www.wolframalpha.com/input/?i=solve+1%2Fx>-1%2F%7Cx-1%7C

0 < x < 1 oder x > 1

Die Ergebnisse die ich bisher gesehen habe waren FALSCH abgeschrieben.

Kann man aber auch schöner schreiben als

x > 0 und x ≠ 1

---

0 < x < 1 oder x > 1

Kann man auch schöner schreiben als

x > 0 und x ≠ 1

Genau:)

Kannst du mir noch erklären wie ich rechnerisch per Fallunterscheidung drauf komme?

Habe es schon so oft probiert, aber es gelingt mir nicht, wie man an dem Versuch oben sehen kann.

Answer 3

Hallo

 bei gleichungen mit Beträgen muss man den Betrag auflösen, also eine Fallunterscheidung machen.hier a) x>1 -> |x-1|=x-1

dann 1/x>1/(x-1) lösen d

dann b) x<1 ->|x-1|=-x+1

also 1/x<1/(1-x) lösen, aber hier aufpassen, wenn man mit etwas <0 multipliziert, kehrt sich da Ungleichzeichen um!

Comments

Ich weiß normalerweise wie man solche Aufgaben löst, allerdings komme ich nicht auf das richtige Ergebnis, des Weiteren war die Aufgabe ober leider falsch, es hat ein Minus gefehlt.
Richtig: 1/x>-1/|x-1|

Answer 4

Definitionsbereich
 1 / x > - 1 / | x -1 |
x ≠ 0 und x ≠ 1

| x -1 | ist stets positiv

Lösung ( x ≥ 1 ) und ( 0 < x < 1 )
x = 0 bis ∞ mit den Einschränkungen des Def-Bereichs

1 / x > - 1 / | x -1 |
1 / x + 1 / | x -1 | > 0
f ( x ) = 1 / x + 1 / | x -1 |

Alles oberhalb der x-Achse gehört zur Lösung.

Comments

Lösung ( x ≥ 1 ) und ( 0 < x < 1 )

Das ist in mehrerlei Hinsicht falsch. Schon der Frager selbst wusste, dass x=1 keine Lösung sein kann, da die Ungleichung in diesem Fall gar nicht definiert ist. Richtig wäre zum Beispiel gewesen:

x > 1   oder   0 < x < 1