Populationswachstum-Aufgabe (Differentialgleichung 1.Ordnung)

Question

Die Aufgabe lautet:

Das Wachstum einer Bevolkerung P(t) wird durch die Differentialgleichung P˙ = r · P
beschrieben. Es ist bekannt, dass die Anfangspopulation von 100 Individuen im ersten Jahr
um 15% gewachsen ist.
(a) Wann wird bei einer als konstant angenommenen Wachstumsrate r die Bevolkerung ¨
auf 500 Individuen angewachsen sein?
(b) Wegen beschrankter Ressourcen wird die Wachstumsrate ¨

r = r(P) = r0*(√500 − P)/P

modifiziert, wobei r0 so einzurichten ist, dass die anfangliche Wachstumsrate erreicht ¨
wird. Bestimmen Sie unter diesen Voraussetzungen P(t) und geben Sie an, ob und
wann die Bevolkerung auf 500 Individuen anwachsen wird.

a) Habe ich bereits gelöst:

P(t) = 100 * e^{r*t}, wobei r = ln(1,15) ist.

Damit ergibt sich bei P = 500, für t = 11,52 Jahre.

Ich komme bei b) aber nicht weiter und würde mich sehr über Hilfe freuen :)

Comments

steht das \(P\) mit unter der Wurzel \(\rightarrow \, r=r(P) = r_0 \cdot \sqrt{500-P}\)?

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Ja, sorry das hätte ich besser darstellen sollen.

Das P  in der Klammer steht mit unter der Wurzel

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in diesem Fall, kann man die DGL zwar lösen, aber mit der Lösung können die Anfangsbedingungen nicht erfüllt werden. Die komplette DGL mit dem neuen \(r\) lautete dann $$P' = r(P) \cdot P = \frac{r_0 \cdot \sqrt{500-P}}{P} \cdot P = r_0 \cdot \sqrt{500-P}$$ somit liegt \(P'(0)\) mit der Bedingung \(P(0)=100\) nicht mehr im reellen. Das macht für einen Populationswachstum keinen Sinn.

Answer 1

Hallo

 wenn das P wirklich unter der Wurzel steht, ist das nicht die Darstellung des "normalen" beschränkten Wachstums, also kontrollier noch mal

 sonst hast du die Dgl P'=ro*√(500-P) zu lösen, was mit Trennung der Variablen geht, dasselbe gilt natürlich mit anderer Lösung, wenn es nicht unter der Wurzel steht.

die erste Frage kannst du beantworten ohne dei Dgl zu lösen, was ist mit r(P) wenn P gegen 500 geht oder 500 erreicht?

Gruß lul