Bestimme das Taylorpolynom 4. Grades für folgende Funktion

Question

f(x)=2cosh(x)=e^x+e^-x

Die Lösung ist:  2 +x^2+x^4/12

Ich weiss nicht mehr, was oben und unten ist bei der Aufgabe. Ich weiss nicht mal was genau ich ableiten soll, da es so verschachtelt ist.

Lieben Dank im voraus

Comments

Gib das nächste Mal bitte den Entwicklungspunkt an , das ist nicht immer 0 , wie hier zufällig .

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Wenn es nicht angegeben ist, ist davon auszugehen, dass es \(a=0\) ist.

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das stimmt nicht ,Du hast ja ein grosses Selbstbewußtsein.

Das muß in der Aufgabe stehen.

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Man könnte natürlich, um es mathematisch korrekt zu machen von der "Big O notation" gebrauch machen.

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Ganz genau wäre:$$\frac{1}{12}x^4+x^2+2+O(x^6)$$

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Entschuldigung,  es ist tatsächlich um den Entwicklungspunkt 0

Answer 1

Das \(n\)-te Taylorpolynom an der Entwicklungsstelle \(a∈I\) ist definiert durch:$$T_nf(x;a)=\sum_{k=0}^{n}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}\cdot (x-a)^k$$ Du möchtest nun ein Taylorpolynom des 4. Grades und da kein Entwicklungspunkt angegeben ist, geht man davon aus, dass \(a=0\) ist. Bilde also alle Ableitungen von \(f(x)=e^x+e^{-x}\). Das ist hier relativ einfach, da sich lediglich das Rechenzeichen verändert:$$f'(x)=e^x-e^{-x}$$$$f''(x)=e^x+ e^{-x}$$$$f'''(x)=e^x-e^{-x}$$$$f''''(x)=e^x+e^{-x}$$ Nun setzt du einfach in die Formel ein:$$T_4f(x;0)=\sum_{k=0}^{4}{\frac{f^{(k)}(a)}{k!}}\cdot (x-0)^k$$ Wenn du das machst, solltest du folgendes erhalten:$$T_4f(x;0)=e^0+e^{-0}+\frac{e^0-e^{-0}}{1!}\cdot (x-0)^1+\frac{e^{0}+e^{-0}}{2!}\cdot (x-0)^2+\frac{e^0-e^{-0}}{3!}\cdot (x-0)^3+\frac{e^0+e^{-0}}{4!}\cdot (x-0)^4$$ Ausmultipliziert erhalte ich:$$\frac{1}{12}x^4+x^2+2$$ Ich habe das jetzt sehr kleinlich oben in die Taylor-Formel eingetragen. Du kannst das natürlich vereinfach. Es gilt z. B. \(e^{0}\) und \(e^{-0}\) gleich \(1\). Außerdem kannst du die Null aus der Klammer wegschreiben, weil \((x-0)^k=x^k\).

Der Graph zeigt, dass das eine sehr gute Annährung an die eigentliche Funktion ist:

https://www.desmos.com/calculator/xdo8gnuq6h

Comments

Vielen dank für den ausführlichen Rechenweg! Ea hat mir sehr geholfen

Answer 2

  Dein Nama ist Nama? Reizende Nama;  sicher ist dein Argwohn berechtigt. Die Matematiker machen immer alles so verschachtelt wie möglich;  und um zu verstehen, was die eigentlich wollen, muss man meist erst mal denen ihre Kettenfunktionen auflösen .

   Aber hier doch nicht . Hast du überhaupt verstanden, was das Taylorpolynom ist? Geh doch mal aus von einem Polynom, einer ganz rationalen Funktion  y = f ( x )  Der ihre Koeffizienten sind quasi die Taylor Entwicklungskoeffizienten um x0 = 0  .

   So. Und jetzt kannst du den Nullpunkt deines Koordinatensystems verschieben - sagen wir nach  x0  . Mach dir bitte an Hand der kanonischen Darstellung x0  =  0  klar, dass die Polynomkoeffizienten, also die Taylor Entwicklungskoeffizienten, ( im Wesentlichen ) mit der ersten, zweiten, dritten ... Ableitung des Polynoms überein stimmen.  Wie in der Musik musst du den Notentext erst " zum Leben erwecken "  ; wenn du die Partitur einer Chopin_Etüde lesen kannst, kannst du sie darum noch lange nicht spielen .

  Um welchen Punkt sollst du entwickeln? x0 = 1 ?  Der Ansatz wird doch dadurch wesentlich erleichtert, dass die Ableitungen der Kosinh_Funktion zyklisch sind :

        f  (  x  )  :=  cosh  (  x  )        (  1  )

        f  '  (  x  )  =  sinh  (  x  )      (  2  )

       f  "  (  x  )  :  cosh  (  x  )           (  3  )

Comments

  WAS habe ich dir gesagt?  MEIDE SCHACHTEL_U D KETTENFUNKTIONEN .  " Racine " macht nämlich genau das: Er löst den Begriff "  cosh  "  mit Hilfe seiner Definition auf.  Das ist aber wenig hilfreich; du begreifst es viel schneller, wenn du dir einprägst, wie die erste, zweite, dritte ... Ableitung von cosh heißt .  Etwa 80 % der Rechnungen mit sinh und cosh lassen sich viel leichter bewältigen, wenn du diese Verwandtschaft mit Sinus und Kosinus im Auge behältst.

   Nur in den restlichen 20 % bringt die Rückbesinnug auf die Definition von cosh einen echten Gewinn.

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IIch versteh deinen Ansatz leider nicht so gut. Trotzdem danke für deine Mühe :)

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  Ich stamme aus einem Welt_Elektronikkonzern. Mein Chef  " Günter Kaufmann "  glänzte vor allem durch seine lästerlixhen Reden . So begrüßte er  jeden Morgen ( Er selbst war verheiratet )   etwa die technische Zeichnerin " Martina Schatz "

   "  Naaa Martina_Schätzchen? Wie wär's denn mit uns beiden? "

   Von ihm lernte ich den Schüttelreim

     " Fräulein hamse 'ne Waage?  Da könn wir was wiegen.

  Fräulein hamse 'ne Wiege?  Da könn wir was wagen ... "

    Oder auch das

   " Jeder taugt zu irgendetwas. Und sei es nur als abschreckendes Beispiel. "

   " Müller, Sie haben hier eine tragende Funktion . Da drüben liegen 100 Manuals; tragense die mal her ... "

   Ich selbst bekam übrigens in aller Regel zu hören

   " Ich hab mal gehört, intelligente Leute brauchen keine Beispiele. "

   In diesem Sinne will ich dir mal ein Beispiel geben, Sagen wir ein Polynom 5. Grades, damit du auch ordentlich was zu tun hast:

    f  (  x  )  :=  4 711  x  ^  5  -  20  x  ^  4  +  15  x  ³  -  9  x  ²  +  12  x  -  4 712    (  1  )

    Deine Hausaufgabe. Du sollst dir klar machen

  1) dass Polynom f ( x ) in ( 1 )   identisch ist mit seiner eigenen Taylorentwicklung um x0 = 0 .  Da hast du gleich wieder eine deiner so hoch gelobten Schachtelfunktionen;  zum einen ist f nur ein beliebiges Polynom .  Zum anderen aber auch seine eigene Taylorreihe .

   2)  Versuche, den Zusammenhang zu verstehen zwischen den   Koeffizienten von ( 1 )

      a5  =  4 711  ;  a4  =  (  -  20  )  ;  a3  =  15  ;  a2  =  (  -  9  )  ;  a1  =  12  ;  a0  =  (  -  4 712  )        (  2  )

    und der ersten, zweiten, dritten ...  Ableitung von  f in  (  1  )

    3)  Die Taylorreihe eines Polynoms vom Grade n bricht deshalb ab, weil sämtliche Ableitungen vom Grade  (  n  +  1 )  und höher identisch verschwinden .

     4)  Mach dir mal paar Gedanken, was man tun müsste, um das Polynom  ( 1 ) um den ( beliebigen )  Punkt x0 zu entwickeln.  Dir muss klar sein, was dies bedeutet;  Der Ursprung deines Koordinatensystems wird von Null nach x0 verlegt .

    Ich verglich dieses Problem mit der  Chopin_Partitur .  Bisher kannst du die Partitur nur " lesen "  ;  du hast in der Vorlesung mitgeschrieben .

   Aber um den Notentext zum Klingen zu bringen, musst du dich mit den Übungsaufgaben beschäftigen, die ich dir oben gegeben habe .

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Also vielen Dank für Ihre Mühe mir das so gut und so ausführlich zu erklären. Es tut mir leid, dass ich mich so spät melde. Aber ich seh das ehrlich erst jetzt. Ich seh erst, dass jemand ein Kommentar geschrieben hat, wenn ich diese App öffne. Nach der Mathe Klausur war ich leider nicht einmal drinnen. Ich war zum Glück auch erfolgreich und das hab ich auch wirklich zum großen Teil dieser Gemeinde zu verdanken ^^

PS: Das was Ihr Chef gemacht hat, fällt unter sexueller Belästigung am Arbeitsplatz. Als Frau hätte ich Ihn zu sau gemacht deswegen...