eine rekursive Bildungsvorschrift ist dadurch charakterisiert, dass der Vorgänger zur Berechnung des Nachfolgers bekannt sein muss.
Rekursive Folgen kommen sehr häufig vor und sind auch meist ein guter Ansatzpunkt, wenn man keine explizite Bildungsvorschrift finden kann. Ein sehr bekanntes Beispiel ist das Newton-Verfahren, mit der sich Nullstellen einer Funktion näherungsweise berechnen lassen. Dieses Verfahren kommt vorallem dann zum Einsatz, wenn die vorliegende Gleichung nicht analytisch lösbar ist, z.B $$ f(x)=\ln(x)\cdot x+\sin(x) $$
Mit einer rekursiven Bildungsvorschrift lassen sich auch die Fibonaccizahlen bestimmen, die allerdings sogar vom Vorvorgänger und Vorgänger abhängig sind. Ihre Vorschrift sieht dann so aus $$ a_0=1,a_1=1,\quad a_{n+2}=a_{n+1}+a_n\\a_{n+2}=1,1,2,3,5,8,... $$
Rekursive Bildungsvorschriften werden oft bei Computern benutzt. Aber jetzt kommt der Haken. Wenn man zB bei der Fibonaccifolge das 1.000.000.000.000. Folgenglied wissen wollte, bräuchte selbst ein Computer eine ganze Weile, denn er muss 1.000.000.000.000-1 mal die Vorschrift anwenden und das ist zeit -und rechenlastig. Zum Glück gibt es auch dafür eine explizite Bildungsvorschrift (Formel von Binet), die aber auch Wurzelausdrücke √5 enthält. Das ist widerum für den Computer ungünstig, da er √5 nur angenähert darstellen kann, weil ja ein Computer nicht unendlich viele Nachkommastellen abspeichern kann. Und das macht sich auch irgendwann bemerkbar, wenn man nur die Zahlen für eine Rechnung groß genug gewählt hat.
