Hallo bahamas,
keine Ahnung, ob das was ich hier erzähle, alles richtig im Sinne der gestellten Aufgabe ist. Aber ich versuche es mal:
Wenn nach der Matrix \(A\) gefragt ist, mit der Eigenschaft \(y'=Ay\), dann bin ich mit Dir konform was \(A\) betrifft:
$$\begin{pmatrix} y'\\y'' \end{pmatrix} = A \cdot \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ -6 & -5 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} y \\ y' \end{pmatrix}$$
das charakteristische Polynom ist aber
$$(0-\lambda)(-5-\lambda) - (-6)\cdot 1= \lambda^2 + 5\lambda + 6 = 0$$
mit den Eigenwerten \(\lambda_1=-3\) und \(\lambda_2=-2\), sowie den Eigenvektoren
$$e_1 = \begin{pmatrix} -1 \\ 3 \end{pmatrix}; \quad e_2 = \begin{pmatrix} -1 \\ 2 \end{pmatrix}$$
und die Eigenvektorbasis \(E\) ist dann $$E = \begin{pmatrix} -1 & -1 \\ 3 & 2 \end{pmatrix}$$
... und stellen Sie das Differentialgleichungssystem in Koordinaten dieser Basis dar.
und dies ist IMHO ein Basiswechsel, wobei \(A\) in die Diagonalmatrix \(D\) überführt wird, dabei gilt:
$$D = E' \cdot A \cdot E = \begin{pmatrix}-3& 0\\ 0& -2\end{pmatrix}$$ $$\text{Bem.: } \space E^{-1} = \begin{pmatrix}2& 1\\ -3& -1\end{pmatrix}$$ In \(D\) sind die Eigenwerte in der Hauptdiagonalen wieder zu finden, was kein Zufall ist, sondern Methode hat. Sei \(z\) der Zustand des Systems in der Eigenvektorbasis, so ist \(z'=D \cdot z\) und \(y=E \cdot z\); bzw. \(y' = E \cdot z'\). Und warum das alles so ist, habe ich schon versucht in der Antwort zu 'Diagonalisieren eine Matrix' anschaulich zu erklären.
Somit wäre dann das DGL-System \(z' = D \cdot z\) in den Koordinaten der Basis \(E\): $$\begin{aligned} z' + 3z &= 0 \\ z'' + 2z' &= 0\end{aligned}$$
