Integration per umgekehrte Substitution Aufgabe 2 Grenzen bestimmen...

Question

$$\int _{ 0 }^{ 1 }{ { e }^{ x }\sqrt { { e }^{ x }+1 } dx\quad \quad \quad \quad x(t)\quad =\quad ln(t) }$$

ich habe als grenzen bei dieser Aufgabe: 1 und 0 bestimmt, also nach dem einsetzen...stimmt das?

Comments

Du willst wissen, wie sich die Integralgrenzen bei der Substitution aendern?

Answer 1

das ist genau dasselbe wie hier https://mathelounge.de/560427/integration-per-umgekehrte-substitution-losen

Hier wurde nur e^x aus der Wurzel gezogen. Du kannst also schreiben.

$$    \int _{ 0 }^{ 1 } e^x\sqrt { { e }^{ x }+1 } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt {  \Big(e ^{ x }\Big)^2({ e }^{ x }+1) } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt {  e ^{ 2x }({ e }^{ x }+1) } dx\\=\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt { { e }^{ x }\cdot e^{2x}+{ e }^{ 2x } } dx=\int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt { { e }^{ x+2x }+{ e }^{ 2x } } dx= \int _{ 0 }^{ 1 } \sqrt { { e }^{ 3x }+{ e }^{ 2x } } dx\\=\Big[\frac{2}{3}(1+e^x)^{\frac{3}{2}}\Big]_0^1=\dfrac{\sqrt{\mathrm{e}+1}\left(2\mathrm{e}+2\right)-2^\frac{5}{2}}{3}\approx 2.894 $$

Comments

@hallo97: Die Grenzen sind anders. Ich füge die Fragen nicht zusammen, damit keine unpassenden Zahlen in den Antworten zu sehen sind.

Answer 2

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