Umkehrfunktion von f(x) = x/(x-3) bestimmen

Question

von folgender Funktion:

f(x) = x/(x-3)

Df ohne 3

leider schaffe ich es nicht... wie kann ich des denn nach x umformen?

Answer 1

 y = x / ( x - 3 )

yx - 3y = x

yx - x -3y = 0

x * (y - 1 ) = 3y

x = ( 3y ) / ( y - 1 )

So würde ich das machen.

Gruß

Smitty

Answer 2

y = x / (x-3)

y = (x-3+3) / (x-3)

y = (x-3) / (x-3) + 3 / (x-3)

y = 1 + 3 / (x-3)

y-1 = 3 / (x-3)

x-3 = 3 / (y-1)

x = 3 / (y-1) + 3

x = 3y / (y-1)

Comments

@gast az0815: Deine Antwort ist perfekt lesbar.

Der Kommentar bei der andern? Problem behoben?

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Natürlich ist meine Antwort perfekt lesbar, ist ja auch reiner Plain Text. Die Fehlermeldung entsteht bei der Umsetzung des letzten Absatzes (TeX-Formel) des letzten Kommentars von hallo97 in Firefox Quantom 61.0.1 (64 Bit).

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Hier noch die Variante für Eilige:

Fasse die Gleichung als Verhältnisgleichung auf:

y / 1 = x / (x-3)

Subtrahiere die Zähler von den Nennern:

y / (1-y) = x / (-3)

Multipliziere mit -3:

3y / (y-1) = x

Das waren genau zwei wesentliche Umformungen bis zum Ziel.

Answer 3

Tipp. Vertausche x und y in deinem Ausdruck. Also aus $$ y=\frac{x}{x-3} $$ wird $$ x=\frac{y}{y-3} $$. Und diesen Ausdruck stellst du nach y um. Versuche dann erstmal den Nennerausdruck los zu werden.

Comments

das ist mir klar. nur genau dieses umformen klappt nicht...!

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Frage: Wie würdest du den Nenner y-3 aus dem Bruch kriegen?

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so wie es Smitty gemacht hat ;)

ich geh schlafen. Morgen Mathe Klausur.... ;)

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Ja, dass was Smitty gemacht hat srimmt. Aber wärst du auch drauf gekommen? Ein wichtiger Tipp vorab. Wenn du dir beim Umstellen von Gleichungen unsicher bist, dann dokumentiere jeden Schritt mit einem Operationszeichen. Dann siehst du nämlich, was du gemacht hast.

$$ \begin{aligned} x&=\frac{y}{y-3} &|&\cdot (y-3)\\x\cdot(y-3)&=y&|&Ausmultiplizieren(=Am)\\x\cdot y-3\cdot x&=y&|&+3\cdot x-y\\x\cdot y-y&=3\cdot x&|&y \ Ausklammern\\ y\cdot (x-1)&=3\cdot x&|&:(x-1)\\y&=\frac{3\cdot x}{x-1}\end{aligned}$$

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$$\begin{aligned} x &=\frac{y}{y-3} &&| \cdot (y-3)\\ x\cdot(y-3) &=y &&| Ausmultiplizieren(=Am)\\ x\cdot y-3\cdot x &=y &&| +3\cdot x-y\\ x\cdot y-y &=3\cdot x &&| y \ Ausklammern \end{aligned}$$

So, ich habe den Quelltext leicht überarbeitet, jetzt wird der fehlererzeugende Code auch bei mir richtig angezeigt.