schrittweite h so berechnen, dass Fehler nicht 10^{-6} überschreitet

Question

ich stecke Momentan ziemlich in der Klemme bei einer Aufgabe. Es geht darum, dass eine Funktion gegeben ist:

$$\frac { 32 }{ 3{ (2x+1) } }$$

Diese soll zwischen [0,100] tabelliert werden. Das Maximum der zweiten Ableitung ist 32

Nun muss man die Schrittweite h so bestimmten, dass der Fehler bei linearer Interpolation nicht 10^-6 überschreitet. Ich verstehe nun nicht genau wie das funktioniert.

Folgende Lösung habe ich bis jetzt:

$$h\le \sqrt { \frac { { 10 }^{ -6 } }{ 32 } *8 }$$

Ich wäre sehr dankbar für jede Lösung! für die Mühe bzw. Lösung!

Comments

Stell ´ einmal die Aufgabe als Foto ein.
Was soll tabellarisch berechnet werden ?
Die Funktion ?
die Krümmung ?
100 mal rechnen wäre ein bißchen viel.

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Gegeben ist die Funktion f(x) = 32/(3(2x+1)). Gesucht ist die Schrittweite h für die  Tabellierung der Funktion zwischen 0 und 100, sodass der Fehler bei linearer Interpolation 10^-6 nicht überschreitet: |R₂(x)| <= 10^-6

Mehr ist leider auch nicht gegeben.

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Sieht es so aus.

Man kann die Geraden auch noch oberhalb / unterhalb
der Funktion plazieren.

Ist es eine Schulaufgabe ?
Oder ist es eine Frage innerhalb einer technischen
Anwendung ?

mfg

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Na wenn das die vollständige Aufgabe ist, dann wollen die dich testen ob du in deine Vorlesungsunterlagen schaust. Da steht sicherlich drin was genau zu tun ist.

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Ja, es wäre nur zu schön wenn es dort drin stehen würde. Die Aufgabe heißt Funktionatabellierung.

Hier mal eine Ähnliche von der Hamburg Uni: https://www.math.uni-hamburg.de/teaching/export/tuhh/cm/a2/14/loes3H_aII14.pdf

Die B (i)

Ist keine Schulaufgabe. Eine Übung in der Uni :)

Answer 1

Hi,

allgemein kann man den Fehler bei einer linearen Interpolation für eine beliebige Funktion \( f(x) \) ja so abschätzen, wenn sie genügend oft differenzierbar ist

$$ | f(x) - P_1(x) | = \left|  \frac{f''(\xi)}{2} (x-x_i) (x-x_{i+1}) \right| \le \left|  \frac{32}{2} (x-x_i) (x-x_{i+1}) \right| \le 4 h^2 $$ und daraus kann man \( h \) bestimmen in dem man fordert

$$  4 h^2 \le 10^{-6}  $$ also $$  h \le \frac{1}{2000} $$

Ist das gleiche wie Du raus bekommen hast.

Ich glaube nur nicht, dass das Maximum der zweiten Ableitung \( 32 \) ist. Meiner Meinung nach ist es \( \frac{256}{3} \)

Dann ergibt sich $$  h \le \frac{1}{1000} \sqrt{ \frac{3}{32} } \approx 0.000306 $$

Comments

Das Maximum der zweiten Ableitung wurde vorgegeben :).

Vielen, vielen Dank für die Ausführliche Erklärung nochmal.

Habe jetzt die Klausur geschrieben. Leider kam absolut nichts davon dran.