Pythagoreische Zahlentripel "Erweiterung"

Question

Hi!

Ich habe mich mit pythagoreischen Zahlentripeln beschäftigt und mich folgendes gefragt:

Es gibt ja unendlich viele, also hat die Gleichung a^2 + b^2 = c^2 unendlich viele Löungen. Das ist ja klar. Aber wie sieht es aus, wenn zu dem c^2 noch eine NICHT-Qudratzahl addiert wird, nehmen wir zu Einfachkeit mal wieder unsere Jahreszahl 2013.

Also: Hat die Gleichung a^2 + b^2 = c^2 + 2013 ebenfalls unendlich viele Lösungen?

 

gruß...

Comments

c = √(a² + b² -  2013)

wenn ich jetzt lustig wäre und undendlich viel zeit hätte, könnte ich für a und b unendlich viele werte einsetzen, welche die bedingung a² + b² >= 2013 erfüllen.

---

Lach. Vermutlich geht es um ganzzahlige Zahlentrippel a, b und c.

Ansonsten wär es wirklich etwas arg einfach.

---

oops! achso, wie peinlich.

---

@Legen...Där: Gute Frage.

Der Kosinussatz hat ja eine ähnliche Form:

\( a^2 + b^2 = c^2 + 2ab \cos(\gamma) \).

Für spezielle p mag es unendlich viele Lösungen geben.

---

Ist ja eigentlich nicht dein Fehler sondern der des Fragestellers.

Solche "Kleinigkeiten" wie die Definitionsmenge sollten eventuell angegeben werden. Zumindest wenn gefordert ist das die Definitionsmenge eine besondere Menge ist.

Answer 1

Die Gleichung hat unendlich viele ganzzahlige Lösungen.

Man nehme irgendeine Lösung der Gleichung, z.B. (a,b,c)= (9,44,2)

Dann ist z.B. auch (a+2b+2c,2a+b+2c,2+2b+3c) eine Lösung und iteriertes Anwenden dieser Transfomation liefert neue Lösungen.

Die Idee ist hiervon geklaut:

https://en.wikipedia.org/wiki/Pythagorean_triple

Comments

Hier wurde zwar einmal das a vergessen, aber ansonsten eine sehr elegante Lösung.

[a + 2·b + 2·c, 2·a + b + 2·c, 2·a + 2·b + 3·c]

Also von mir gibt es einen Daumen.

---

Und das kann man beweisen in dem man die neuen a,b,c in a^2 + b^2 = 2013 + c^2 einsetzt?

---

Was ist das "das" welches du hier meinst?

Man kann zeigen, dass das neue Tripel eine Lösung ist indem man es einsetzt - es eine relativ einfache Rechnung..

Answer 2

überlegt habe ich nach allgemeinen Lösungen der Gleichung für beliebige p.

Ist das p zum Beispiel ungerade, so lässt sich c^2 + p als neue Quadratzahl darstellen, beziehungsweise existiert ein c, sodass c^2 + p eine Quadratzahl ist.

Die Frage ist dann, ob diese neue Quadratzahl c' = c^2 + p als Hypotenuse eines Pythagoras-Tripels auftritt, beziehungsweise Hypotenuse eines Pythagorastripels ist.

Für gerades p lässt sich diese Aussage übrigens nicht mit dieser Allgemeinheit treffen, außer der Primfaktor 2 kommt wenigstens zweimal in diesem p vor.

MfG

Mister