Vollständige Induktion, Umformen

Question

Guten Tag liebe Community ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe zur Vollständigen Induktion

$$ \sum_{k=1}^{n}{5^{k-1}=\frac{5^n-1}{4}} $$

Induktionsanfang:

Zuerst habe ich für n = 1 eingesetzt ,n∈ℕ: Die Aussage ist wahr

$$ \sum_{k=1}^{1}{5^0=\frac{5^1-1}{4}} $$ = 1=1 wahr

Induktionsschritt: 

Induktionsvoraussetzung

n=m m∈ℕ

$$ \sum_{k=1}^{m}{5^{k-1}=\frac{5^m-1}{4}} $$ Diese Aussage ist wahr.

Induktionsbehauptung: Für n= m+1 ist die Aussage auch wahr.

$$ \sum_{k=1}^{m+1}{5^{k-1}=\frac{5^{m+1}-1}{4}} $$

Beim Beweis hänge ich richtig

$$ \frac{5^m-1}{4}+ 5^{(m+1)-1} = \frac{5^m-1}{4}+\frac{4*5^m}{4} $$

Jetzt weiss ich nicht wie ich vorgehen soll ?!

Ich bitte um Hilfe und danke schonmal im Voraus im Voraus

:D

Answer 1

Hallo

 du bist doch fast fertig, was ist denn 4*5^m+1*5^m?

Gruß lul

Comments

Wie kommst du auf 4*5m+1*5m ??

Hast du etwa alles zerlegt und den Faktor 1 genommen ungefähr so

$$ \frac{5^m-1+4*5^m}{4} =\frac{1*5^m+4*5^m-1}{4}=\frac{5^m*(4+1)-1}{4}=\frac{5^{m+1}-1}{4} $$

Danke für den Hinweis den Faktor 1 zusehen war das Problem

:D