Betragsungleichung |x-1| < (x^2-11x)/(x+16)

Question

folgende Aufgabe treibt mich in die Verzweifelung : Für welche x aus R gilt folgende Ungleichung: |x-1| < (x^2-11x)/(x+16)

Als Ansatz habe ich 3 Fälle herausgefunden x<-16, -16<x<1 und 1<=x aber sobald ich versuche die x^2 aufzulösen kommt nur noch mist raus.

Answer 1

im Fall x≥1 hast du ja :  x-1< (x^2-11x)/(x+16)

und weil x+16 dann pos. ist

(x-1)(x+16)  < x^2 - 11x

      0 < -26x + 16

    -16 < -26x

      8/13 > x und weil diese Bedingung für kein x≥1 gilt, gibt

es für diesen Fall keine Lösungen.

2. Fall    x<-16 da ist jedenfalls x-1 negativ, also hast du

         -x+1< (x^2-11x)/(x+16)

<=>  (-x+1)(x+16)  >  x^2 - 11x

<=>  0 > 2x^2 + 4x - 16

<=>  0 > x^2 + 2x - 8

<=>  0 >  (x-2)(x+4)

<=>   -4 < x < 2   und das tritt für x<-16 auch nicht ein.

3.    -16<x<1

   -x+1< (x^2-11x)/(x+16)

<=>  (-x+1)(x+16)  <  x^2 - 11x

<=>  0 <  2x^2 + 4x - 16

<=>  0 <  x^2 + 2x - 8

<=>  0  <  (x-2)(x+4)

Hier gibt es also wirklich Lösungen:  -16<x<-4

Passt zum Graphen:  blau unterhalb von rot

~plot~ abs(x-1) ;  (x^2-11x)/(x+16) ; [[-100|0|-125|125]] ~plot~

Comments

Ich hätte noch eine Frage: Wie löse ich 0 < (x-2) (x+4) am besten auf? Also wie komme ich dann darauf, dass -16 < x < -4 sein muss?

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Entweder so:

      0 < (x-2) (x+4)

Zu f(x)=(x-2) (x+4)  gehört eine nach oben geöffnete

Normalparabel mit Nullstellen bei 2 und -4, also ist die

Lösungsmenge ]-∞ ;-4 [  ∪ ;  ] 2 ; ∞[.

Dann noch die Fallannahme berücksichtigen (s.u.).

Oder eher formal:  Produkt positiv heißt:

beide Faktoren positiv oder beide negativ

(x-2>0  ∧ x+4 > 0 )   ∨   (x-2 < 0  ∧ x+4 <  0 )

<=>  (x>2 ∧ x>-4 )   ∨   (x< 2   ∧ x < -4 )

<=>     x>2           v        x<-4

wegen des Falles   -16<x<1  kommt x>2 nicht in Betracht,

also nur x<-4 interessant und x>-16 ergibt sich aus der

Fallannahme.

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Vielen Dank für die ausführliche Erklärung :-)

Answer 2

Hallo

es hat wenig Sinn deine Verzweiflung zu schildern, ohne dass du zeigst, wo du scheiterst.

dein Fallunterscheidung ist richtig, in welchen der 3 Fälle scheiterst du denn?

direkt sieht man: für x<-16 ist die rechte Seite negativ, also Ungleichung sicher nicht erfüllt.

bevor man verzweifelt, lässt man sich von einem Funktionsplotter die rechte und linke Seite plotten, und kann daran seine Rechnung überprüfen.

Gruß lul