Wie führt man einen Monotonie-Beweis, ohne Differenzialrechnung, durch?

Question

Hi, die Frage lautet:Wie führt man einen Monotonie-Beweis, ohne Differenzialrechnung, durch?

Nehmen wir die Funktion f:R->R, x->1/5x-2.

Klar ist, f ist monoton steigend, also es müsste gelten x<y => f(x)<f(y).

Aber wie zeigt man die Implikation?

Ich meine man könnte ja versuchen es so zu machen:
 x<y => 1/5x<1/5y => 1/5x-2<1/5y-2 , aber das schaut zu trivial aus als das es korrekt wäre.

Answer 1

f(x) = 1/5*x - 2

Für h > 0 muss gelten

f(x) < f(x + h)

1/5*x - 2 < 1/5*(x + h) - 2

1/5*x < 1/5*(x + h)

x < x + h

0 < h

stimmt. Damit ist die Funktion streng monoton steigend.

Comments

Hey

Was ist h? Also was ist die Idee, kann es gerade nicht nachvollziehen.

---

Wenn ich das richtig verstanden habe, kann man das auch so schreiben:

\(\frac{1}{5}\cdot x-2 <\frac{1}{5}\cdot (x+\Delta x)-2\)

Umgangssprachlich:  x und ein beliebiger Wert dazu.

---

Job, sowas in der Art dachte ich mir auch, aber irgendwie schlecht nachzuvollziehen.

---

Das mit dem h bekommt ihr später auch noch bei den Ableitungen. Daher kannst du dich schon mal dran gewöhnen.

Man kann statt h dort auch einen beliebigen anderen Platzhalter nehmen, der für einen positiven Wert steht.

das ist eigentlich einfacher als wenn du sagst

x0 < x

bzw.

x0 < x0 + h

h ist einfach nur die Differenz um den sich der neue x-Wert vom alten x-Wert unterscheidet.

Answer 2

Du kannst es so machen:

Die Funktion $$ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\quad \frac{1}{5}x-2 $$ ist monoton wachsend.

Seien x,y∈ℝ und sei O.B.d.A  x<y. Dann ist auch $$x<y \Leftrightarrow \frac{1}{5}x<\frac{1}{5}y\Leftrightarrow \frac{1}{5}x-2<\frac{1}{5}y-2\\ \Leftrightarrow  0<\frac{1}{5}y-2-\frac{1}{5}x+2=\frac{1}{5}(y-x) \Longrightarrow f(x)<f(y).$$

Comments

Danke für  die Antwort, aber warum impliziert

1/5(y-x) => f(x)<f(y)

Ich steige da gerade nicht ganz durch.:)

---

Es ist ja $$ \frac{1}{5}(y-x)=\frac{1}{5}y-2-\frac{1}{5}x+2=f(y)-f(x) $$

Der linke Ausdruck ist einfach nur eine Zusammenfassung/Vereinfachung. Ok hätte vielleicht lieber, statt es zusammenzufassen auch am Ende f(y)-f(x) schreiben sollen, damit die Implikation ersichtlicher wäre.

---

Ok, dass macht nun sinn...

Das Ziel ist es als mittels der Differenz zu zeigen, dass x<y ist  bzw  f(x)<f(y)?

---

Ja, genau. Und um zum Ziel zu gelangen, nutze ich permanent die Anordnungsaxiome der reellen Zahlen, vorallem die additive und multiplikative Monotonie.

---

EDIT: Hier nochmal in (hoffentlich) nachvollziehbarer Form.

Die Funktion $$ f: \mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R},\quad x\longmapsto \frac{1}{5}x-2=:f(x) $$ ist (streng) monoton wachsend.

Beweis. Seien a,b ∈ℝ und sei O.B.d.A a<b. Dann ist $$ a<b \Leftrightarrow \frac{1}{5}a<\frac{1}{5}b  \Leftrightarrow \frac{1}{5}a-2<\frac{1}{5}b-2  \Leftrightarrow f(a)<f(b), $$ womit die Behauptung wahr ist.