L'Hospital Grenzwert berechnen

Question

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kann jemand die Aufgabe 4 lösen, ich habe da e^-5/12

raus aber ich denke, dass es falsch ist.

Aufgabenstellung (siehe Anhang) - falls nicht leserlich lim x->2 PI

(1/sin*5X/4)  hoch 1/1-cos(3x)

vielen dank!

Answer 1

Ich habe e^{25/144} erhalten.

Comments

Und wie? Ich versuchs schon seit einigen Minuten. Habe keinen Ansatz

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bleib ganz ruhig , sowas lernt man im Studium .

Rechnung folgt, keine Hektik . :-)

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ich habe da e hoch -25/144 raus

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Ich habs vllt.

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siehe oben

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Ich hab die Geduld verloren. Irgendwas mache ich komplett falsch

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Lernt man das nicht schon im Abi? :)

ne , dort nicht :-)

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Vorab gilt \(sin(x)^{-1}=csc(x)\). WIr haben also \(csc\left(\frac{5x}{4}\right)\).

Könnte man die Funktion nicht irgendwie mit \(1-cos(3x)\) potenzieren, um diesen lästigen Kehrwert im Exponenten zu entfernen. Es gilt ja z. B. \((a^{\frac{1}{b}})^b=a\)

Nun haben wir für \(a=csc(5x/4)\) und für \(b=1-cos(3x)\), stimmt der Ansatz?

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ich verstehe deine Ableitung bei ln(1/sin(5x/4) nicht

sorry, ich glaube ich mache da was falsch, aber nur bei 1/x kann ich nicht richtig ableiten irgendwie.

ln's ableitung ist ja 1/x und sin(5x/4) 's Ableitung ist cos(5x/4) * 5/4

was  passiert mit der 1?

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Mit wem sprichst Du ? An wen geht die Frage?

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die Frage ging an dich. weil genau bei der Ableitung mein fehler ist.

du hast irgendwie direkt zusammengefasst. weil ich habe da 1/(sin(5x/4) * cos(5x/4) * 5/4 raus. nur 1/sin(5x/4) habe ich falsch abgeleitet.

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das sollte helfen:

Answer 2

Man hat $$ f(x)=\Bigg(\frac{1}{\sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)} \Bigg)^\frac{1}{1-\cos(3x)}\quad |\ln(.)\\\ln(f(x))=\frac{1}{1-\cos(3x)}\cdot \ln\Bigg(\frac{1}{\sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)} \Bigg)=\frac{1}{\cos(3x)-1}\cdot \ln\Bigg(\sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)\Bigg)=\frac{\ln\Bigg(\sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)\Bigg)}{\cos(3x)-1}$$

Dann ist

$$ \lim_{x \to 2\pi} \ln(f(x))=\lim_{x \to 2\pi} \frac{\ln\Bigg(\sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)\Bigg)}{\cos(3x)-1}\stackrel{L'H}{=}\lim_{x \to 2\pi}\frac{\frac{5}{4}\cdot \frac{\cos\Big(\frac{5x}{4} \Big)}{\sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)}}{-3\cdot \sin(3x)}\\=-\frac{5}{12}\cdot \lim_{x \to 2\pi}\frac{\cos\Big(\frac{5x}{4} \Big)}{\sin(3x)\cdot \sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)}\\ \stackrel{L'H}{=}-\frac{5}{12}\cdot \lim_{x \to 2\pi}\frac{-\frac{5}{4}\cdot \sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)}{3\cdot \cos(3x)\cdot \sin\Big(\frac{5x}{4} \Big)+\sin(3x)\cdot\frac{5}{4}\cdot  \cos\Big(\frac{5x}{4} \Big)}\\=-\frac{5}{12}\cdot \lim_{x \to 2\pi}\frac{-\frac{5}{4}\cdot 1}{3\cdot 1\cdot 1+0\cdot\frac{5}{4}\cdot  0}=\frac{25}{144} $$

Dann ist also

$$ \lim_{x \to 2\pi} e^{\ln(f(x))}=e^{\frac{25}{144}} $$

Answer 3

Ergebnisse kannst du auch online mit Wolfram vergleichen.

http://m.wolframalpha.com/input/?i=lim+x+to+2*pi+%281%2F%28sin%285x%2F4%29%29%29%5E%281%2F%281-cos%283x%29%29%29

 Um deine Fehler aufzuspüren, müsstest du deine Rechnung mal vorlegen.

Wende e^{LN(...)} auf den Grenzwert an, dann hast du einen Bruch im Exponenten.