Quadratische Gleichung lösen. Bsp. x^2+7,5x+3,5=0

Question

Kann mir jemand vielleicht

“x^2-4x=45”

Und

“x^2+7,5x+3,5=0”

Loesen? Gesucht ist x, ich steh bei den beiden echt auf dem schlauch, danke!

Bitte mit Recheneeg damit ich es verstehe

Answer 1

x^2-4x-45=0

Satz von Vieta liefert sofort:

(x-9)(x+5)

Es gibt nur 2 ganze Zahlen, deren Produkt 45 ergibt.

Comments

Nämlich 3 und 15.

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Nämlich 3 und 15.

Dein Humor hat was! :-)

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Sorry, die Hitze raubt mir noch den Verstand.

Ich hab einfach vergessen, die zweite Bedingung (Summe ist -4)

dazuzuschreiben.

Ich sollte mir wohl besser hitzefrei nehmen in diesem Forum. :)

Answer 2

$$x^2-4x=45\\x^2-4x-45=0$$

Jetzt mit pq-Formel

$${x}_{1/2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(45)}\\{x}_{1}=9\\{x}_{2}=-5$$

Bei der zweiten das selbe.

Gruß

Smitty

Comments

Wie genau kommen sie auf das ergebnis? Ich verstehe den vorgang nicht

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Kennst du die pq-Formel?

Hier nochmal: $${x}_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2}$$

Diese Formel gilt für Gleichungen dieser Form:

$$x^2+px+q=0$$
Also habe ich zuerst \(-45\) auf beiden Seiten gerechnet

Du musst also nur die Parameter \(p\) und\(q\) einsetzten.

Die Herleitung dafür findest du im Internet

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Die formel kenne ich nicht, nein .0.

Gehtvdas such ohne?

Mit binomischen formeln zum beispiel?

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Du kannst die Gleichung in deren Linearfaktoren zerlegen. Das geht mit Hilfe der dritten Binomischen Formel. Du müsstest \((x+5)\cdot (x-9)\) erhalten.

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Wenn du "runde Zahlen" hast - Wie bei der Aufgabe -

     x^2 - 4 x - 45 = 0

  kannst du einen Trick anwenden, um ein Produkt daraus zu machen

       Du packst das in so eine Tabelle:

                      x^2    |   -4x    |  - 45
-------------------------------------------------------------
                    
                                |             |
--------------------------------------------------------------

                                |              |

--------------------------------------------------------------

Bei der Spalte mit dem x^2 musst du zwei Werte eintragen, die x^2 ergeben.

Also so:

                      x^2    |  -4x    |  - 45
-------------------------------------------------------------
                   
                     x         |          |
--------------------------------------------------------------

                      x        |           |
--------------------------------------------------------------

Denn x * x = x^2

Der nächste Schritt ist, die Spalte unter der - 45 zu füllen.

Die zwei Werte müssen multipliziert, -45 ergeben.

Ich werde jetzt einfach mal direkt die richtigen eintragen. Du musst es sonst ausprobieren, denn gleich überprüft man das nochmal.

                      x^2    |  -4x    |  - 45
-------------------------------------------------------------
                   
                    x        |          |        -9
--------------------------------------------------------------

                      x        |          |        5
--------------------------------------------------------------

Hier -9 und 5, da -9 * 5 = -45 ergibt.
In der mittleren Spalte werden die beiden äußeren spalten multipliziert. 
Und zwar nach diesem Schema: 
         x* ( - 9 )      und x * 5
Also immer über Kreuz.
Diese Werte werden in die mittlere Spalte eingetragen.
 =>

                      x^2    |  -4x    |  - 45
-------------------------------------------------------------
                   
                    x        |     -9x   |        -9
--------------------------------------------------------------

                      x        |     5x   |        5
--------------------------------------------------------------

Diese mittleren Werte addiert müssen -4x ergeben.
- 9x + 5x = - 4x
Es stimmt also.

Jetzt kann man die beiden Faktoren ablesen:

Einmal ( x - 9 ) und ( x + 5 ) 

Es ergibt sich also:
   
       ( x - 9 ) * ( x + 5 ) 

  
Vielleicht hilft das bei weiteren Aufgaben.

Gruß

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"Du kannst die Gleichung in deren Linearfaktoren zerlegen. Das geht mit Hilfe der dritten Binomischen Formel."

Wie kommst du da drauf? Mit diesen Formeln geht hier nix.

Du hast du anscheinend mit Vieta verwechselt. :)

Answer 3

Du hast die eine Quadratische Gleichung der Form \(x^2+px+q\). Die Buchstaben stehen jeweils für das, was vor dem \(x\) steht. In deinem ersten Beispiel ist z. B., nachdem du die \(45\) auf die andere Seite gebracht hast, diese Form erreicht - du hast nämlich \(x^2-4x-45\)

Wenn du oben nochmal guckst, solltest du daraus folgern können, dass \(p=-4\) und \(q=-45\) ist. Es gibt nun eine sog. PQ-Formel. Die schaut so aus:$$x_{1,2}=-\frac{p}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^2-q}$$ Du setzt nun einfach für jedes \(p\) in der Formel in diesem Beispiel die \(-4\) ein. Für \(q\) dann logischerweise \(-45\).  Setzen wir die Kollegen mal ein:$$x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2-(-45)}$$

Unter der Wurzel siehst du, dass wir den Ausdruck \(-(-45)\) - was sagen die Lehrer doch immer "Minus mal Minus ist gleich Plus". Hast du bestimmt auch schon 100000 Mal gehört. Wir schreiben es also um:$$x_{1,2}=-\frac{-4}{2}\pm\sqrt{\left(\frac{-4}{2}\right)^2+45}$$ Nun lösen wir den Ausdruck vor der Wurzel auf, ich erhalte nachdem ich den Brust in eine Dezimalzahl umstelle folgendes:$$x_{1,2}=2\pm\sqrt{2^2+45}$$ So nun addieren wir die beiden Zahlen unter der Klammer zusammen:$$x_{1,2}=2\pm\sqrt{49}$$ Die Wurzel aus \(49\) ist \(7\). Das komische Zeichen, das vor der Wurzel steht spricht man "Plus-Minus". Es heißt also, dass du einmal \(2-7\) und einmal  \(2+7\) rechnest. Das sind dann auch schon deine Nullstellen:$$x_1=2-7=-5$$$$x_2=2+7=9$$

Comments

Wooooooooooow, das war echt gut!! Ich habs echt verstanden!!!

Das schafft keiner mir das beim ersten ansatz so verstaendlich zu erklaeren vielen vielen dank! Echt!!

Und wie mace ich das bei der 2. Aufgabe? Die ist ja laenger

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Und wie mace ich das bei der 2. Aufgabe? Die ist ja laenger

Erstmal musst du mir sagen, welches \(p\) und welches \(q\) wir bei dieser Aufgabe haben?

Nochmal zur Erinnerung: Die Form einer Quadratischen Gleichung ist \(x^2+px+q=0\).

Das ist schon die halbe Miete, wenn du das bestimmen kannst.

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Noch zur alten aufgabe:

Das erste x ist -5 oder?

Sprich -5^2 - 4*9 - 45?

Beinder 2. Ist p=7,5 und q=3,5 oder

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Du hast hier offensichtlich versucht eine Punktprobe durchzuführen - das ist eine schlaue Idee! Das müsste aber anders aussehen:$$f(-5)=(-5)^2-4\cdot (-5)-45=0$$ Das lustige ist jetzt, dass man die \(9\) auch einsetzen kann, um \(0\) herauszubekommen. Ok, so lustig auch wieder nicht. Aber guck:$$f(9)=9^2-4\cdot 9-45=0$$

Beinder 2. Ist p=7,5 und q=3,5 oder

Korrekt. Nun in die Formel einsetzen und dann wars des scho!

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Aber theoretisch ist das richtig, wo ich welces x eingesetzt habe oder?

Beinder langen aufgabe habe ich -14,31 und 6,81 raus, stimmt das? Wenn ja dann hab ich es verstanden!!

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Aber theoretisch ist das richtig, wo ich welces x eingesetzt habe oder?

Nein. Du kannst immer nur jeweils \(x_1\) oder \(x_2\) einsetzen und nicht beide.

Also entweder für beide \(x\) die \(-5\) oder die \(9\) einsetzen. Niemals beide zusammen!

Beinder langen aufgabe habe ich -14,31 und 6,81 raus, stimmt das?

Leider nicht, das kann aber auch sein, dass du etwas falsch in den Taschenrechner eingegeben hast, darf ich deinen Rechenweg sehen?

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Och man, ich dachte ich habs:(

Mein rechenweg

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Alles richtig, bis auf das du gar nicht die Wurzel gezogen hast? Die kannst du doch nicht einfach wegwerfen? :D

Gib \(\sqrt{10.56}\) in den Taschenrechner ein und dann passt alles!!!!

Du hast dann:$$x_1=-3.75-3.249615362$$$$x_2=-3.75-3.249615362$$ das war dein einziger Fehler! Du hast irgendwie das unter der Wurzel zussammengerechnet die Wurzel dann aber irgendwie einfach weggeworfen :D

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Das freut mich! Dann kommen da -6,99 und -0,51 raus?

Ich hab noch eine aufgebe, keonnen sie sich die vielleucht auch mal kyrz ansehen? :(

Sorry eenn das alles ein bisschen geschmiert ist

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Das freut mich! Dann kommen da -6,99 und -0,51 raus?

Ja. Du rundest halt sehr stark, weshalb das Ergebnis nicht ganz genau ist.

Danke für das Bild, das wollte ich dir gerade noch mitgeben. Wenn vor dem \(x^2\) was steht, dann musst du folgendes machen:$$\frac{1}{2}x^2+3x-36=0 \quad |:\frac{1}{2}$$ Du musst nun das \(p\) und das \(q\) durch \(\frac{1}{2}\) teilen. Du erhältst dann:$$x^2+6x-72=0$$ Nun PQ-Formel mit \(p=6\) und \(q=-72\)

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Wow, danke sie koennen das echt gut ruberbringen!!!!!

Eine letzte aufgabe habe ich noch, wo ich mr unsicher bin. Der lehrer hat die ergebnisse schon gesagt, und zwar 2,5 und -3,5. Bei mir kommt was komplett anderes raus, hilfe!!

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Hier steht wieder was vor dem  \(x\). Das muss weg. $$4x^2+4x-35=0 \quad |:4$$$$x^2+1x-8.75=0$$ So probiers jetzt nochmal!

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Ohh okay dann hab ichs echt verstanden, danke!!!

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Was ist, wenn ein minus vor dem x ist?

Faellt mir gerade so ein

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Stellen wir uns mal folgendes vor:$$-x^2+5x+2$$ Dann einfach mit \( \cdot (-1)\) multiplizieren und du erhältst:$$x^2-5x-2=0$$

Aufgabe für Dich:

Berechne die Nullstellen von -x^2+12x-6

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Und wenn es zb -4x ist vorne? Was dnan?

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Bsp:

-4x^2+20x-8.     |:(-4)

x^2-5x+2

Answer 4

1/2 * x^2  + 3x = 36 | * 2
x^2 + 6x = 72  | quadr.Ergänzung 3
x^2 + 6x + 3^2 = 72 + 3^2
( x + 3 ) ^2 = 81 | Wurzel
x + 3 = ± 9

x = 6
und
x = -12

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Du erhöhst damit die Anzahl der möglichen
Antwortgeber beträchtlich.

Noch mehr als 6 Antwortgeber für quadratische Gleichungen? :-)

Das ist doch deren Lieblingsthema!

Answer 5

Vieta ist die erste Wahl, vgl. Antwort von Gast2016.

Binomische Formeln gehen aber auch; nur ist das umständlicher.

Bsp.

(x+a)^2 = x^2 + 2ax + a^2

(x-a)^2 = x^2 - 2ax + a^2

Beide Formeln kannst du auch von rechts nach links anwenden.

Bei quadratischen Gleichungen kannst du das nutzen. Denn rechts steht die Unbekannte zwei mal und links nur einmal. Wenn die Unbekannte nur noch einmal in einer Gleichung vorkommt, kann man meist einfach nach der Unbekannten auflösen.

Nun hast du das folgende Beispiel:

x^{2}-4x = 45

Der blaue Teil enthält die Unbekannte x zwei mal. Er sieht aber nicht aus, wie einer der rechten Teile der beiden binomischen Formeln oben.

x^{2}- 2*2x = 45         ist etwas besser.

Nun a identifizieren und links und rechts a^2 addieren. Das nennt man quadratische Ergänzung. 

[spoiler]

a=2, 2. binomische Formel.

Links und rechts a^2 = 2^2 addieren

x^{2}-2*2x + 4 = 45 + 4         | links 2. binomische Formel anwenden. Rechts rechnen.

(x-2)^2 = 49              | √

(x-2) = ± √(49)

x-2 = ± 7          |+ 2

x = 2 ± 7

x_{1} = 9, x_{2} = -5 

Lösungsmenge L = { -5, 9 } 

Answer 6

   So; du kannst also kein Mathe. Dann erzähle ich dir zur Abwechslung mal etwas, wovon dein Schrat noch nie gehört hat ...

     Mach dich mal schlau über den  ===>  Satz von der rationalen Nullstelle ( SRN )

     f  (  x  )  :=  x  ²  -  p  x  +  q  =  0           (  1a  )

            p  =  4  ;  q  =  (  -  45  )         (  1b  )

    Dein Polynom ist normiert; für normierte Polynome macht der SRN die bedeutsame Aussage, dass ihre Wurzeln  ganze Zahlen sein müssen. Vieta das geschmähte Stiefkind; Vieta  q

     x1  x2  =  q  =  (  -  45  )         (  2  )

    Du sollst also sämtliche Zerlegungen der 45  =  3  ²  *  5   angeben .  Doch unser Job erweist sich als noch leichter; x1 und x2 stellen sich als TEILER FREMD  heraus .

   Woher weiß ich jetzt das auf einmal wieder?

   Machen wir erst mal fertig. Teiler fremd heißt doch: Du darfst das Dreierpäckchen niemals aufschnüren; für uns gibt es nur die triviale Zerlegung 45 = 1 * 45 so wie die nicht triviale  45  = 5 * 9 Hinreichende Bedingung - wichtig für alle Klausuren - ist immer Vieta p

          p  =  x1  +  x2        (  3a  )

    |  x1  |  =  1  ;  |  x2  |  =  45  ;  |  p  |  =  44         (  3b  )

    |  x1  |  =  5  ;  |  x2  |  =  9  ;  |  p  |  =  4          (  3c  )     ;   ok

   Jetzt noch das Vorzeichen richtig drehen; und fertig ist die Laube .

  ( Wegen p > 0  muss die betragsgrößere Wurzel positiv sein. )

       x1  =  (  -  5  )  ;  x2  =  9         (  3d  )

    Wie war das jetzt mit dem ggt?  Sei m ein Teiler; dann folgt in ( 1a ) wieder aus Vieta

    m  |  x1;2  <===>  m  |  p  ;  m  ²  |  q        (  4a  )

    Ein m , das die rechte Seite von ( 4a ) befriedigt,  möge K-Teiler des Polynoms  f  in ( 1a ) heißen -  K wie "  Koeffizient  "   Der größte K-Teiler ist dann selbst redend der gkt; unsere Behauptung

    ggt  x1;2  =  gkt  (  f  )       (  4b  )

   Bei deiner zweiten Gleichung nun betätige ich mich als Entdecker.  Das kann dein Lehrer gar nicht mehr kennen; denn wie soll der etwas wissen, was schließlich ich entdeckt habe?  Im Jahre 2011 noch in der selben Woche,  als ich aus dem Internet vom SRN  erfuhr, entdeckte ( und bewies )  ich folgenden

      ZERLEGUNGSSATZ

   ====================

     Sei

         a2  x  ²  +  a1  x  +  a0  =  0         (  5a  )

        a2  =  2  ;  a1  =  15  ;  a0  =  7    (  5b  )

    ein primitives Polynom  und x1;2  seine Wurzeln

     x1;2  :=  p1;2 / q1;2  €  |Q       (  5c  )

    ( die wir wie üblich als gekürzt voraus setzen. )  

   Dann gelten die beiden Gilgamesch pq-Formeln ( und du weißt, wie wichtig pq-Formeln sind. )

       p1  p2  =  a0  =  7       (  6a  )

       q1  q2  =  a2  =  2     (  6b  )

     =============================================

    2 und 7 sind Primzahlen. Wegen (  6b ) erwarten wir eine GANZZAHLIGE so wie eine HALBZAHLIGE  Wurzel .  Aber dann bleiben uns immer noch zwei Möglichkeiten; welcher Seite schlage ich die 7 zu? Den halben oder den ganzen?

   Den Vieta p Test kennst du ja jetzt schon;  aha.  Jetztz brauchen wir ( 5ab ) in Normalform.

         p  =  (  -  15/2  )  ;  q  =  7/2       (  7  )

   Halt Stop; noch sind wir nicht übern Berg .   In ( 6a )  gibt ja schließlich " Minus Mal Minus " auch Plus;  haben wir es nun zu tun mit zwei negativen oder zwei positiven Lösungen?  Für solcherlei  Streitfälle gibt es die cartesische Vorzeichenregel

   " Zwei Mal Minus "

              x1  <  =  x2  <  0       (  8  )

     x1  =  (  -  7  )  ;  x2  =  (  -  1/2  )  ;  p  =  (  -  15/2  )        (  9a  )   ;     ok

    x1  =  (  -  7/2  )  ;  x2  =  (  -  1  )  ;  p  =  (  -  9/2  )       (  9b  )