Ganzzahlige Nullstellen von Polynomen

Question

Ich habe folgende Aufgabe in der Uni un weiß nicht so Recht, wie ich diese beweisen soll: 

Wir benutzen im Folgenden für ganze Zahlen die Notation a|b für die Aussage a teilt b, d.h. es gibt k ∈ Z (ganze Zahlen) mit ak = b. Sie dürfen veerwenden, dass sich jede ganze Zahl eindeutig in Primfaktoren zerlegen lässt. 

I) Wir betrachten in dieser Aufgabe dei Polynomgleichung xⁿ+p₁*x^n-1+p₂*x^n-2+..+p_n-1*x+p_n = 0 mit ganzzahligen Koeffizienten, das heißt es gilt p_k ∈ Z für alle k ∈ {1,..n}. Es stehe immer n für den Grad des Polynoms und somit p_{n für den Absolutkoeffizienten.}

a) Zeigen Sie: Wenn x ∈ Z eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist, so gilt x | p_n.  

b) Zeigen Sie: Wenn x ∈ Q eine rationale Lösung der Gleichung ist, muss sogar x ∈ Z sein.

c) Finden Sie alle rationale Lösungen der Gleichung x⁴-4*x³-8x²+13x+10=0, indem Sie gemäß a) und b) mögliche rationale Lösungen ausprobieren.

Vielen Dank vorab!! :)

Comments

Die Aufgabe ist selten daemlich formuliert. In Wirklichkeit gilt dieser Satz: https://de.wikipedia.org/wiki/Satz_über_rationale_Nullstellen.

Der Beweis ist nicht schwieriger als der zur Aufgabe.  

Answer 1

zu c) x⁴-4*x³-8x²+13x+10=0 hat eihe Lösnug x=-2. Bestätigen durch Einsetzen.Dann muss die Division (x⁴-4*x³-8x²+13x+10)/(x+2) aufgehen.

Generell: Wenn a eine Nulltelle von p(x) ist, dann gibt es q(x), sodass q(x)·(x-a)=p(x).

Answer 2

Wenn x ∈ Z eine ganzzahlige Lösung der Gleichung ist

Klammere in dem Term xⁿ+p₁*x^n-1+p₂*x^n-2+..+p_n-1*x ein x aus. Begründe, dass dann der Term in der Klammer ganzzahlig ist.

mögliche rationale Lösungen ausprobieren.

Laut b) sind alle rationalen Nullstellen ganze Zahlen. Laut a) sind sie Teiler von 10. Davon gibt es nur endlich viele.

Comments

Vielen Dank für deine Rückmeldung! 

Mal zur 1: Wir haben ja in der Voraussetzung gegeben, dass a teilt b gleichzusetzen ist mit a*k=b. 

Als Beispiel habe ich jetzt mal n=3 genommen: x³+p₁x²+p₂x+p₃=0. Wenn wir nun x ausklammern haben wir: x*(x²+p₁x+p₂)+p₃=0, was wir wiederrum umstellen können zu: x*(x²+p₁x+p₂)=-p₃ wobei dann ja gelten könnte, dass x = a ist, (x²+p₁x+p₂) der Faktor k ist und b=-p₃ ist? Aber wie beweise ich das dann richtig? Klar, mit allgemeinem n aber reicht es das anzugeben, was ich hier gerade gesagt habe?

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Du möchtest x | p_n zeigen.

Du hast im Moment

        x · (x^n-1+p₁x^n-2+p₂x^n-3+..+p_n-1) = -p_n.

Du brauchst aber

         x·k = p_n.

Da musst du noch ein wenig umformen. Außerdem hast du den Teil "Begründe, dass dann der Term in der Klammer ganzzahlig ist" noch nicht abgearbeitet. Der ist zwar eigentlich trivial, sollte aber trotzdem erwähnt werden, weil dort bestimmte Voraussetzungen verwendet werden, ohne die x | p_n nicht notwendigerweise gelten würde.

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Vielen Dank für deine Infos! Leider stehe ich aber komplett auf dem Schlauch und finde nicht wirklich heraus, wie ich letztendlich zum gewünschten Ergebnis komme.. Kannst du mir da vielleicht nochmal helfen? 

Vielen Dank vorab!