Stochastik: Wellensittiche im Zoo.

Question

In einem Zoo befindet sich ein Käfig mit 28 Wellensittichen.
- 9 Blaue
- 7 Gelbe
- 12 Olive

Kinder dürfen einen Wellensittich auf der Hand tragen. Dazu nimmt der Wärter zufällig einen aus dem Käfig, welcher nacher wieder dorthin kommt, bevor der nächste Vogel herausgenommen wird.

Mit welcher Wahrscheinlichkeit...

...(1) werden nacheinander 4 gelbe Wellensittiche herausgenommen?
...(2) sind 3 nacheinander herausgenommene Vögel       alle unterschiedlicher Farbe?
...(3) befindet mindestens ein blauer Vogel unter den ersten 5 herausgenommenen Vögel?



----------------------------- Mein Vorgehen ---------------------------------

(1) Hier arbeite ich mit einem Baumdiagramm und mit der Wahrscheinlichkeit P(G) = "Gelb" seinem Gegenereignis.

LSG: 0.39%






(2) Hier liste ich alle Möglichkeiten für drei Unterschiedliche Ziehungen auf und berechne deren Wahrschinlichkeiten und addiere diese dann zusammen. Diese ergeben mir dann die Wahrscheinlichkeit für P(Alle unterschiedlich).

LSG: 20.7%





(3) Ich arbeite mit dem Gegenereignis von

E₂ = "Mindestens ein Blauer Vogel unter den ersten 5".

Komplement v. E₂ =" Kein blauer Vogel unter den ersten 5 herausgezogenen".

LSG: 14,38%



Frage:
Da es zu dieser Aufgabe keine Lösungen gibt (alte Prüfung) würde es mich freuen, wenn jemand das mal anschauen könnte und mir ein Feedback geben kann.

Answer 1

(1)$$P(X=4)=\left(\frac{1}{4}\right)^4=\frac{1}{256}$$

(2)$$P(X=GΛBΛO)=3!\cdot \frac{756}{28^3}$$

(3)$$P(X≥1)=\sum_{k=1}^{5}{\frac{9}{28}\cdot \left(1-\frac{9}{28}\right)^{k-1}}$$

Comments

Danke,(1) und (2) scheinen ruchtig zu sein.

ist meine (3) falsch ?

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Deine 3 ist richtig. Racine hat da allerdings einen Fehler gemacht.

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Die Frage ist, was sprich gegen die Binomialverteilung?

Es gibt eine konstante Wahrscheinlich

"Misserfolg" und "Erfolg"

und unabhängigkeit.

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Gegen die Binoialverteilung spricht nichts, aber es ist

P(mind. ein Blauer) = 1 - P(kein Blauer).

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Und wie stellst du dir das vor?

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Es stellt doch eine geometrische Verteilung dar?

P(X≥1)=1-∑(k= 1 bis 5) (9/28)*(1-(9/28))^{k-1}

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Sorry Limonade,

Dein Ergebnis ist richtig, ich hatte mich gestern in Eile vertan. :D

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Falls die Wahrscheinlichkeit für keinen
blauen Vogel 14.39 % beträgt ( stimmt ) ,
dann ist die Wahrscheinlich-
keit für min 1 blauen Vogel 85.61 %.

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So ist es richtig.

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Ja, ich hatte mich gestern Abend vertan - war wohl zu sehr in der Serie drinnen.

Ist natürlich geometrisch verteilt!!!

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Die Zufallsgröße "Anzahl der Blauen" unter den ersten fünf herausgenommenen Vögeln ist binomialverteilt und nicht geometrisch!

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Kumulative Geometrische Verteilung.

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Zeig mal, wie du das mit der Binomialverteilung machen würdest!

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P(X≥1) = 1-P(X=0) = 1-(1-9/28)^5 = 0.8561...

wobei X wie oben angedeutet die "Anzahl der Blauen..." sein soll.

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Ok, aber geometrisch erhält man dasselbe:

geom(k;p)=∑(k=1 bis 5) (9/28)*(1-(9/28))^{k-1}

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Wie ist denn die dazu passende Zufallsgröße aus?

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Wie bitte? :D

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Was ist die Zufallsgröße und welche Wahrscheinlichkeit, bezogen auf diese Zufallsgröße, hast du berechnet?

(Im Übrigen (gute Übung!) lassen sich beide Terme ineinander umrechnen, es muss also dasselbe herauskommen.)

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\(X\) beschreibt die Wahrscheinlichkeit, dass man genau \(k\) Versuche benötigt, um zum ersten Erfolg zu kommen.

Ich addiere also alle Wahrscheinlichkeiten beim ersten, zweiten, dritten etc. Versuch einen Erfolg zu haben.

Das ist legitim!

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Das ist zunächst einmal eher undurchsichtig. ich zweifle aber nicht unbedingt daran, dass man auch über diesen Weg zum Ziel kommt. Ich glaube, so etwas nennt man dann Umweg!