Wie bestimme ich die Funktionsgleichung einer verketteten Funktion mithilfe eines Graphen?

Question

Ich habe eine Frage : Mal angenommen ich habe zwei Funktionen gegeben :

f(x) = sin(x)

g(x) = x + 2

Diese verkette ich :

(f(x) + g(x)) = f(x) + g(x) = h(x)

h(x) = sin(x) + x + 2

Jetzt angenommen, ich hätte diese Funktionsgleichung nicht, sondern nur den Graphen wie bestimme ich diese Funktionsgleichung da habe ich ja keinen einzigen Anhaltspunkt? Ein Bild habe ich nicht, habe Angst verhaftet zu werden wegen Urheberrechtsverletzungen.

Danke.

I

Comments

EDIT: Keine Verkettung, sondern Summe.

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Ein Bild habe ich nicht, ...

gib die Funktion einfach hier in den Plotlux-Plotter ein (rechts unter 'Eingabetools'): ~plot~ sin(x)+x+2;[[-20|+20|-12|+12]] ~plot~

Answer 1

Richtig. Du hast keinen Anhaltspunkt, da du nur einen Teil vom Graphen siehst. Deshalb könnte man auch den sichtbaren Abschnitt zum Beispiel mit einem Polynom beliebigen Grades beschreiben. Und je genauer man ihn damit beschreiben will, desto mehr Bedingungen muss man aus dem Graphen entnehmen.

Oder es handelt sich um eine Aufgabe, wo schon gesagt wird, um welche Art von Funktion es gehen soll, sodass man mit dem Graphen dann gleich die für die aufzustellende Funktion, nötigen Bedingungen aus dem Graphen zusammentragen kann.

EDIT: Mal ein Beispiel. Stell dir vor du machst im Dunkeln eine Langzeitbelichtung mit der Kamera. Du läufst mit einer Leuchtquelle an der Kamera vorbei und bewegst diese dabei hoch und runter und das unterschiedlich schnell. Oder du hälst die Höhe kurz. Die dabei aufgenommene Lichtspur könnte zum Beispiel so aussehen:

Nun könnte man sich fragen: Wie lautet denn diese Zuordnungsvorschrift, welche diesen Graphen beschreibt? Man würde ewig brauchen, bis man eine sehr gute Darstellung dafür gefunden hätte. Aber man kann es sich auch leichter machen und sie zum Beispiel auch Abschnittsweise mit einfacheren elementaren Funktionen nähern, z.B., mit Polynomfunktionen.

Comments

Kann ich Funktionen eigentlich mit Funktionen strecken, also wenn ich ein Produkt bilde?

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Ja, du kannst die Streckung von Funktionen beeinflussen. Zum Beispiel kann man das hier mal mit der Sinusfunktion verdeutlichen. Nun multipliziere ich sie noch mit einer e-Funktion und man sieht, dass sich die Streckung ändert.

~plot~ sin(x);e^{-0.25x}*sin(x);[[-20|11|-40|40]] ~plot~

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Wie genau beeinflusst die Streckung einer Funktion einer anderen Funktion die Funktion? Bzw. was passiert bei einer „Verkettung“ von Summe,Differenz,Division mit der Funktion? Halten die sich an die typischen Parameter Verschieben, Strecken,Stauchen? Solche Funktionen kenne ich ja schon bei den Bruchfunktionen.

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Das kommt ganz darauf an, welche Funktionen du hast, die du wie auch immer miteinander verarbeiten tust. Wichtig ist halt dabei zu wissen, wie sich die Funktionen, die man gerade verwendet, verhalten. Also welche Eigenschaften haben die denn? Wächst die eine schneller als die andere, oder gibt es vielleicht bei der einen Funktion, die man nimmt Unstetigkeiten auf dem Definitionsbereich, den man gerade betrachtet.

Im obigen Beispiel weiß man ja, dass die Sinusfunktion oszilliert, also periodisch fällt und wächst. Die oben verwendete e-Funktion fällt für immer größer werdende positive x-Werte, wodurch die Stauchung insgesamt immer weiter abnimmt, da ja jeder Wert vom Sinus hier durch die e-Funktion multipliziert wird.

Aber das ganze pauschal sagen zu könne ist nicht möglich, da du die elementaren Funktionen in verschiedenster Art und Weise in Beziehung setzen kannst, d.h., du musst deine Funktion die du am Ende betrachtest auf Eigenschaften untersuchen, um zu sehen, wie du die Streckung in x- oder y-Richtung beeinflussen kannst.

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Für mein Beispiel habe ich den y - Achsenabschnitt P(0/2). Was ist wenn ich die Sekantensteigung für x € [-0,5;0,5] berechne und so möglichweise den mittleren Teil bestimme, ich meine ungefähr da ist die Steigung die selbe?

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Jetzt angenommen, ich hätte diese Funktionsgleichung nicht, sondern nur den Graphen

Also für die Sekantensteigung brauchst du zwei Punkte. Hier hast du nur einen, nämlich P(0|2) und nur einen Bereich für x, nämlich [-0,5;0,5]. Damit kannst du keine Sekantensteigung bestimmen.

Und außerdem hat diese Frage auch nichts mit deiner ursprünglichen Frage mehr zu tun. Du willst einen Graphen durch eine Vorschrift beschreiben. Da nützt dir die Sekantensteigung gar nichts.

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Ich wollte damit den mittleren Teil beschreiben, aber offenbar fehlt ein guter Punkt, wo von ich auch tendiere, das dies Abhängig von der Skalierung ist. Was kann ich sonst machen um den Graphen zu beschreiben, zumindest den mittleren Teil?

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Ich verstehe nicht, was du mit ,,mittleren Teil'' meinst.

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Ich meinte den Teil des Graphen, der wie eine Lineare Funktion ausschaut, ob dies hier möglich wäre.

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Kannst du vielleicht eine Skizze machen? Weil dann könnte ich besser verstehen, was du meinst.

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Wie kann ich hier Bilder hochladen? Finde die Funktion nicht.

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Du musst auf ,,Datei auswählen'' klicken, um deine Skizze dann hier hochzuladen.

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Werner Salomon hat schon freundlicherweise den Graph geplottet.