Extrem- und Wendepunkte berechnen

Question

Ich brauche Hilfe bei einer Funktion.

f(x)=x^4-5x^3+7x^2-3x

Ich habe die Funktion erst abgeleitet und mit der pq-Formel aufgelöst, bekomme da aber die falschen Ergebnisse heraus.

Comments

Zeig uns, was du gerechnet hast.

f'(x) = 4x^3-15x^2+14x-3=0

Polynomdivision machen, 1. Nullstelle raten!

Tipp:

1 ist Nullstelle.

Answer 1

Hi,

wie hast Du denn die pq-Formel angesetzt? Ist doch kubisch?

Ableitungen:

f(x) = x^4-5x^3+7x^2-3x

f'(x) = 4x^3-15x^2+14x-3

f''(x) = 12x^2-30x+14

f'''(x) = 24x-30

Extrempunkte:

f'(x) = 4x^3-15x^2+14x-3 = 0

Ein Nullstelle findet man durch Raten -> x_{1} = 1

Polynomdivision:

(4x^3-15x^2+14x-3)/(x-1) = 4x^2 - 11x + 3 

Da kann man nun durch 4 teilen und die pq-Formel ansetzen:

x_{2,3} = 11/8 ±√(73/8)

Das muss nun mit der zweiten Ableitung überprüft werden.

Es ergeben sich Tiefpunkt bei x = 11/8 ± √(73/8)

und Hochpunkt bei x = 1

Wendepunkte:

f''(x) = 12x^2-30x+14 = 0

Hier kann man nach der Division von 12 direkt mit der pq-Formel durchstarten.

x_{4,5} = 5/4 ± √(19/48)

Mit der dritten Ableitung überprüfen, was letztlich passt.

Schaubild:

~plot~ x^4-5x^3+7x^2-3x ~plot~

Alles klar?

Grüße

Answer 2

leite sie zunächst dreimal ab.

Extrempunkte:

Die Nullstellen von f' geben dir die Kandidaten für Extremstellen. Und ob das dann wirklich Kandidaten sind, brauchst du zum Überprüfen die zweite Ableitung. Dort setzt du die Kandidaten ein. Solange f''(x_0)≠0 besteht, hast du einen Extrempunkt, d.h., f''(x_0)<0 Hochpunkt und f''(x_0)>0 Tiefpunkt und f''(x_0) ein Wendepunkt.

Wendepunkte

Dafür berechnest du die Nullstellen der zweiten Ableitung. Diese musst du nun mit der dritten Ableitung überprüfen, ob sie Kandidaten für einen Wendepunkt sind. Wenn f'''(x_w)≠0 dann hat man einen Wendepunkt. f''"(x_w)>0 Rechtslinks -  Wendepunkt und f'''(x_w)<0 Linksrechts - Wendepunktund f'''(x_w)=0 Sattelpunkt.

Zum Schluss setzt du dann die Kandidaten in deine Ausgangsfunktion f ein, um die y-Koordinaten zu bekommen.

Answer 3

Ableitungen bilden:$$f(x)=x^4-5x^3+7x^2-3x$$$$f'(x)=4x^3-15x^2+14x-3$$$$f''(x)=12x^2-30x+14$$$$f'''(x)=24x-30$$ Berechne die Nullstellen der zweiten Ableitung mit den Cardanischen Formeln:

Du hast ein Polynom der Form \(Ax^3+Bx^2+Cx+D=0\). Berechne vorabdie Determinante, um Fallunterscheidung möglich zu machen:$$\Delta=\frac { 27 A ^ { 2 } D ^ { 2 } + 4 B ^ { 3 } D - 18 A B C D + 4 A C ^ { 3 } - B ^ { 2 } C ^ { 2 } } { 108 A ^ { 4 } }$$ Ich erhalte für die Diskriminante \(\Delta \approx -0.0422453703704\) , was heißt das wir den Fall \(\Delta<0\)  (casus irreducibilis) haben und wie folgt weiter machen müssen:

Wir berechnen vorab zwei Parameter:$$p=\frac{9AC-3B^2}{9A^2}=-1.1875$$$$q=\frac{2B^3-9ABC+27A^2D}{27A^3}=-0.28125$$ Nun kannst du auch schon in die Formeln einsetzen:$$x_1=\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)\right)-\frac{B}{3A}$$$$x_2=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)+\frac{\pi}{3}\right)-\frac{B}{3A}$$$$x_3=-\sqrt{-\frac{4}{3}p}\cdot cos\left(\frac{1}{3}arccos\left(-\frac{q}{2}\cdot \sqrt{-\frac{27}{p^3}}\right)-\frac{\pi}{3}\right)-\frac{B}{3A}$$ Nach Einsetzen in die Formel erhalte ich:$$x_1\approx 2.443 \quad x_2=1 \quad x_3 \approx 0.3069995$$ Es gibt also mögliche Extremstellen in der Lösungsmenge \(\{2.443;1;0.3069995\}\). Genauer finden wir das nun heraus, wenn wir die Nullstellen der ersten Funktion in die Zweite einsetzen:$$f''(2.443)=12.332 \quad f''(1)=-4.001 \quad f''(0.307)=5.921$$ Es wird also bei \(0.307\) und \(2.443\) ein Minimum angenommen, wohingegen bei \(1\) ein Maximum angenommen wird. Setze diese Werte also in die Ausgangsfunktion ein und erhalte als Tiefpunkte:$$T_1(0.307|-0.397) \quad T_2(2.443|-2.833) \quad H_1(1|0)$$ Für den Wendepunkt musst du die Nullstellen der zweiten Funktion suchen:$$12x^2-30x+14=0$$ Mit der Mitternachtsformel erhältst du für die Lösungsmenge \(\{0.621;1.879\}\). Diese setzt du nun in die dritte Ableitung ein:$$f'''(0.621)=-15.1 \quad f'''(1.879)=-1.628$$ Da -15.1 kleiner als Null ist dort also ein Wendepunkt. Nun in die Ausgangsfunktion einsetzen, um folgenden Punkt zu erhalten:$$W_1(1.879|-1.628) \quad W_2(0.621|-0.212)$$

https://www.desmos.com/calculator/cdyi5o0oub

Comments

Es ist zwar schön mal die Cardanischen Formeln in der Anwendung zu sehen, aber abgesehen davon, dass sie im Schulalltag im Allgm keinen Eingang finden, sind sie auch recht unhandlich. Mit einer Polynomdivision ist man hier bedeutend einfacher bedient :).

Grüße

---

Lass mir einfach meinen Spaß dabei! :D

Ich ziele nicht darauf ab, dafür die beste Antwort zu bekommen... Ich habe einfach Spaß am Rechnen.

---

Und das allgemeine Lösungsverfahren für Kubische Polynom sind eben die Cardanischen Formeln. In der Schule ist es halt so, dass man immer eine Nullstelle hat, die \(x∈ℕ\) in einem Intervall von \([5;-5]\) liegt, aber mir bleibt der Spaß aus, wenn ich raten muss, um ein richtiges Ergebnis zu erhalten.