Umformen der Ungleichung 1 + 1/n < e^€ nach n ?

Question

ich soll mit Hilfe des Epsilon-Kriteriums die Konvergenz einer Folge beweisen. Bin aber an einem Punkt angelangt, ab dem ich nicht mehr weiterkomme.

$$1+\frac{1}{n}< e^\varepsilon$$ wobei das Zeichen über der eulerschen Zahl ein Epsilon sein soll.

Comments

wobei das Zeichen über der eulerschen Zahl ein Epsilon sein soll.

Ok, ich habe es durch \(\varepsilon\) (\varepsilon) ersetzt.

Answer 1

1+1/n <e^{eps}=1+eps+eps^2/2+....

Ist erfüllt wenn

1+1/n<1+eps

1/n<eps

n>1/eps

Answer 2

$$\begin{aligned} 1+\frac{1}{n} &< e^\varepsilon \\[10pt] \frac{1}{n} &< e^\varepsilon - 1 \\[10pt] n &> \dfrac{1}{e^\varepsilon - 1}. \end{aligned}$$Die letzte Äquivalenz gilt, weil beide Seiten positiv sind.

Answer 3

1+1/n    <    e^ε

ln(1+1/n) <  ε

 ln((n+1)/n) <  ε

 ln(n+1) - ln(n)   < ε

Das linke ist der Differenzenquotient von ln an der Stelle n.

Weil ln rechtsgekrümmt ist, ist der kleiner als ln ' (n) = 1/n .

Also reicht es   1/n <  ε   zu erreichen, das ist offenbar für

n > 1/ ε erfüllt.

Also gilt die Ungleichung für alle n mit n>1/ ε.