Ungleichung umformen: (3x)/(3+x) + (2x)/(3-x) > 1

Question

Aufgabe:

Ungleichung umformen:

\( \frac{3 x}{3+x}+\frac{2 x}{3-x}>1 \)

Answer 1

(3x)/(3+x) + (2x)/(3-x) > 1                  / *(3-x)*(3+x)

Falls (9-x^2) > 0, also -3< x < 3:

3x (3-x) + 2x * (3+x) > 9 - x^2           (3.Binomische Formel auf der rechten Seite)

9x - 3x^2 + 6x + 2x^2 > 9 - x^2          / + x^2

15x > 9

x > 9/15

x > 3/5

Somit gilt:   3/5 < x < 3


Falls (9-x^2) > 0, also -3 > x  oder x > 3:

3x (3-x) + 2x * (3+x) < 9 - x^2           (3.Binomische Formel auf der rechten Seite)

9x - 3x^2 + 6x + 2x^2 < 9 - x^2          / + x^2

15x < 9

x < 9/15

x < 3/5

Also: x < -3


Zusammengefasst:Lösung ist x∈ℝ, für x < -3 oder 3/5 < x < 3

Answer 2

3·x/(3 + x) + 2·x/(3 - x) > 1

3·x·(3 - x)/((3 + x)·(3 - x)) + 2·x·(3 + x)/((3 + x)·(3 - x)) > 1

(x^2 - 15·x)/((x + 3)·(x - 3)) > 1

(x^2 - 15·x)/(x^2 - 9) > 1

Fall: -3 < x < 3

x^2 - 15·x < x^2 - 9
x > 0.6

Fall x < -3 oder x > 3

x^2 - 15·x > x^2 - 9

x < 0.6

Lösung ist hier also: x < -3 oder 0.6 < x < 3