Grenzwert berechnen. Mein Ansatz e = (1+(1/n))^n

Question

ich habe Probleme bei dieser Aufgabe wo man den Grenzwert berechnen soll, einziger Ansatz ist e =  (1+(1/n))^n

,

Der Stümper

Comments

Hier übrigens ein Beweis für (*) in der Antwort von hallo97: https://www.mathelounge.de/9342/zeigen-sie-allgemeiner-fur-alle-x-r-konvergiert-1-x-n-n-gegen

Answer 1

$$ \lim_{n \to \infty}\Bigg(\frac{n-5}{n+1} \Bigg)^{2n}=\lim_{n \to \infty}\Bigg(\frac{1+\frac{-5}{n}}{1+\frac{1}{n}} \Bigg)^{2n}=\lim_{n \to \infty}\frac{\Bigg(\Big(1+\frac{-5}{n}\Big)^n\Bigg)^2}{\Bigg(\Big(1+\frac{1}{n}\Big)^n\Bigg)^2}\stackrel{(*)}{=}\Bigg(\frac{e^{-5}}{e}\Bigg)^2=(e^{-6})^2=e^{-12} $$

$$(*)\lim_{n \to \infty} \Bigg(1+\frac{a}{n}\Bigg)^n=e^a  $$

Comments

EDIT: Und falls du (*) nicht kennst, bzw. nicht benutzen darfst geht es auch so hier:

$$ (n-5):(n+1)=1+\frac{-6}{n+1} $$ Dann hat man:

$$ \lim_{n \to \infty} \Bigg(\frac{n-5}{n+1}\Bigg)^{2n}=\lim_{n \to \infty} \Bigg(1+\frac{-6}{n+1}\Bigg)^{2n}=\lim_{n \to \infty} \Bigg(1+\frac{1}{\frac{n+1}{-6}}\Bigg)^{2n}\\ \text{Setze } z:=\frac{n+1}{-6} \Leftrightarrow n=-6z-1 (**) $$Dann ist

$$ \stackrel{(**)}{=}\lim_{z \to \infty}\Bigg(1+\frac{1}{z} \Bigg)^{2(-6z-1)}=\lim_{z \to \infty}\Bigg(1+\frac{1}{z} \Bigg)^{-12z-2}\\=\lim_{z \to \infty}\Bigg(1+\frac{1}{z} \Bigg)^{-12z}\cdot \Bigg(1+\frac{1}{z} \Bigg)^{-2}\\=\lim_{z \to \infty}\Bigg(\Bigg(1+\frac{1}{z} \Bigg)^{z}\Bigg)^{-12}\cdot \Bigg(1+\frac{1}{z} \Bigg)^{-2}\stackrel{Ansatz}{=}(e)^{-12}\cdot 1=e^{-12}. $$