Bestimmen Sie eine Matrix A und einen Vektor b, so dass f(x)=Ax+b für alle x∈ℝ³ gilt.

Question

Ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Sei f: ℝ³ ↦ ℝ² eine affine Abbildung, so dass gilt:

p0 = (0,1,0)^t ↦ q0 = (1,1)^t

p1 = (0,2,1)^t ↦ q1 = (-1,2)^t

p2 = (1,3,1)^t ↦ q2 = (1,-1)^t

p3 = (-4,0,2)^t ↦ q3 = (-1,-1)^t

Aufgabenstellung steht im Titel. Ich weiß leider nicht wie man bei so einer Aufgabe vorgeht, da wir ähnliches nie in der Vorlesung oder Übung hatten und ich es für die Klausur jedoch wissen muss. Es wäre sehr nett, wenn mir hier jemand helfen kann. Kann mir schon vorstellen, dass die Aufgabe gar nicht schwer ist, man muss nur einmal wissen wie so etwas geht :)

Answer 1

Aufstellen der allgemeinen Matrix

\(Ao \, :=  \, \left(\begin{array}{rrr}a11&a12&a13\\a21&a22&a23\\\end{array}\right)\)

\(bo \, :=  \, \left(\begin{array}{r}b1\\b2\\\end{array}\right)\)

\(f(x) \, :=  \, Ao \; x + bo\)

Die Abbildung durchführen

\( {f(p0)-p0',f(p1)-p1',f(p2)-p2',f(p3)-p3'} \)

\( \left\{  \binom{a12 + b1 - 1}{a22 + b2 - 1},  \binom{2 \; a12 + a13 + b1 + 1}{2 \; a22 + a23 + b2 - 2},  \binom{a11 + 3 \; a12 + a13 + b1 - 1}{a21 + 3 \; a22 + a23 + b2 + 1},  \binom{-4 \; a11 + 2 \; a13 + b1 + 1}{-4 \; a21 + 2 \; a23 + b2 + 1} \right\} \)

GLS lösen

\( \left\{  \left\{ a11 = -8, a12 = 10, a13 = -12, a21 = 13, a22 = -16, a23 = 17, b1 = -9, b2 = 17 \right\}  \right\} \)