Problem beim Beweisen der Injektivität

Question

hi

 

ich bin gerade dabei die injektivität einer abbildung zu beweisen dabei besagt die definition, dass

 

f(x₁) = f(x₂) sein muss und dass daraus x₁ = x₂ folgt

 

damit wäre der beweis geführt

 

mein problem ist nun, dass ich nicht weiß, was genau x₁ und x₂ bedeutet und wie ich auf diese komme.

 

danke für jede hilfe :)

Answer 1

f(x₁) = f(x₂) sein muss und dass daraus x₁ = x₂ folgt

Wörtlich: Wenn du für zwei Elemente des Definitionsbereichs, den gleichen Funktionswert bekommst, dann müssen die Elemente gleich sein. Da wir für zwei verschiedene Werte des Definitionsbereichs auch immer zwei verschiedene Werte des Wertebereichs bekommen.

Siehe dazu die Definition der Injektivität:

https://de.wikipedia.org/wiki/Injektivität

Comments

ok

 

könntest du mir ein beispiel für eine untersuchung auf injektivität bei zwei funktionen, welche teilmenge der reellen zahlen sind, bei denen sagen wir mal f(x) auf g(x) abgebildet wird

 

das einzige problem ist nämlich dass ich nicht genau weiß, was ich für x₁ und x₂ einsetzen muss.

gibt es dabei mehrere möglichkeiten um zum beispiel zu testen, ob der graph eine parabel ist, was ja bedeuten müsste, dass die abbildung nicht injektiv ist.

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Untersuche doch mal dir Funktion f(x) = x^2 auf injektiv ist.

Ich nehme jetzt einen Funktionswert z.B. 4

f(x1) = f(x2) = 4

 f(x) = x^2 = 4

x1 = +2 und x2 = -2

Hier folgt also nicht das x1 und x2 gleich sind. Daher ist diese Funktion nicht inkektiv.

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warum nimmst du als x wert 1 und nicht 2 (hätte ich jetzt wegen dem funktionswert 4 gemacht)?


was ist wenn eine funktion nun  nicht mehr so leicht ist das man das ergebnis quasi sofort sieht?

wie kann ich dann auf injektivität prüfen?

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+2 und -2 ist auch richtig.

Generell kannst du die Funktion einfach nach x auflösen. Gebt es dabei keine mehrdeutigkeiten ist die Funktion inkektiv. Stößt man auf mehrdeutigkeiten durch z.B. ein Quadrat ist die Funktion nicht injektiv.

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konkret für unsere aufgabe:

f(x)=-x²-1

g(x)=2x³+5

 

f(g(x))= -4x⁶-20x³-26   ?

--> injektiv oder nicht?

     -4x₁⁶-20x₁³-26 = -4x₂⁶-20x₂³-26

jetzt haben wir x₁=1  und x₂=-1 eingestezt.

unserer ergebnis war ungleich und damit nicht injektiv?

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y = -x²-1
-x^2 = y + 1
x^2 = -y - 1
x = ±√(-y - 1) kann also nicht injektiv sein oder?

y = 2x³ + 5
2x^3 = y - 5
x^3 = y/2 - 2.5
x = ³√(y/2 - 2.5) das ist eindeutig also injektiv

y = -4x^6 - 20x^3 - 26
Substitution z = x^3
y = -4z^2 - 20z - 26
Beim Auflösen nach z über abc oder pq Formel gibt das Mehrdeutigkeiten also nicht injektiv.

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alles klar danke jetzt haben wir es verstanden.


das hat jetzt echt geholfen. =)

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Überlege dir mal ob ganzrationale Funktionen mit einer gerade höchsten Potenz injektiv sein können oder injektiv sind.

Wenn ja, warum ist das so.

Wenn nein, warum ist das so?

Das gleiche kannst du dann nochmal für ungerade höchste Potenzen machen.

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wenn alle potenzen geradzahlig sind ist es nicht injektiv

wenn alle potenzen ungerade sind ist es injektiv

wenn es gemischt ist dann ist es auch nicht injektiv


weil bei geraden potenzen immer die negative und positive zahl potenziert positiv sind (es entsteht eine parabell) --> nicht injektiv

und entgegengesetzt

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wenn alle potenzen geradzahlig sind ist es nicht injektiv
ja das sehe ich auch so. 

wenn alle potenzen ungerade sind ist es injektiv
das sehe ich nicht so
y = x^5 - 10·x^3

wenn es gemischt ist dann ist es auch nicht injektiv
Das sehe ich auch nicht so. Typische Kostenfunktion.

wenn die höchste Potenz gerade ist haben wir ein gleiches verhalten für lim x→±∞. Damit kann es nicht injektiv sein. Da braucht übrigens nur die höchste Potenz gerade sein. Der Rest ist dann egal.