Wie löst man allgemein Aufgaben zum exponentiellen Wachstum? Wachstum einer Weißtanne

Question

Wie gehe ich an so eine Aufgabe heran?

Weißtannen können bis zu 70 Meter hoch werden. Das Höhenwachstum einer Weißtanne kann näherungsweise durch die Funktion  \(h=\frac { 70 }{ 1\quad +\quad 100{ e }^{ -79k\cdot t } }\) beschrieben werden. Dabei ist h(t) die Höhe der Tanne (in Metern) t Jahre nach Beobachtungsbeginn.

a.) Die Tanne hat 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn eine Höhe von 6m erreicht. Wie groß war sie bei Beobachtungsbeginn?

b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?

c) Ab welchem Zeitpunkt ist die Höhenzunahme innerhalb eines Jahres geringer als 10cm?

Eigentlich müsste ich sowas als Chemiestudent können und ich bin eigentlich gut in Mathe, aber das ist ewig her und wir hatten das Thema nicht groß behandelt in der Schule. Wenn mir jemand erklären könnte wie man sowas löst, dann wäreich sehr dankbar. Hoffentlich kommen dann auch die Erinnerungen zurück :)

Comments

Die Formel h(t) ist so für mich nicht aus der Syntax heraus ableitbar .-(

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oh ja,, ich hab den Formeleditor benutzt, aber anscheinend ging irgendwas schief

Zähler: 70

Nenner: 1 + 100e^{-70kt}

Oh ich habe die Dollaerzeichen vergessen

h(t) = $$\frac { 70 }{ 1\quad +\quad 100{ e }^{ -70k\cdot t } }$$


Oben habe ich auch ausversehen -79kt geschrieben, es ist aber -70kt als exponent

Answer 1

h(t) = 70/(1 + 100·e^{- 79·k·t})

a.) Die Tanne hat 8 Jahre nach Beobachtungsbeginn eine Höhe von 6m erreicht. Wie groß war sie bei Beobachtungsbeginn?

h(0) = 0.6930693069

 

b) Zu welchem Zeitpunkt ist die Wachstumsgeschwindigkeit am größten?

h(8) = 6
k = 0.00354121293

h(t) = 70/(1 + 100·e^{-0.2797558214·t})

h''(t) = 0
t = 16.46139180

c) Ab welchem Zeitpunkt ist die Höhenzunahme innerhalb eines Jahres geringer als 10cm?

Da könnte man zwei Ansätze wählen. Der erste wär hier etwas genauer

h(t+1) - h(t) < 0.1

h'(t) < 0.1