Wie kann man die Wertemenge einer Funktion ablesen? f(x) = (4x - 3)/(2x - 5)

Question

Hallllooo,

Wie kann man Funktionen wie \(f(x)=\frac{4x-3}{2x-5}\) ablesen, dass sie keine Lösung für \(2\) haben?

Das ist eventuell noch ein leichtes Beispiel, bei anderen ist es noch schwieriger, wie z. B.:
$$ f(x)=\frac{4x^2-5x+32}{2x-5}$$ Hier wäre die Wertemenge \(W_f=\{y∈ℝ | y≥\frac{15}{2} +\sqrt{178}\}\) Kann man das überhaupt ohne Hilfe bestimmen?

Comments

Du meinst bei deinem ersten Beispiel, dass es kein Element x des Definitionsbereichs gibt mit f(x) = 2 ?

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Genau.    LG    ..

Answer 1

f(x) = (4x - 3)/(2x - 5)

Zuerst einmal plotten (Kurvendiskussion genügt für eine qualitative Skizze) folgender Art:

~plot~ (4x - 3)/(2x - 5) ; x = 2.5;2 ~plot~

y = 2 ist horizontale Asymptote

x = 2.5 ist eine einfache Polstelle (Vertikale Asymptote) (mit Vorzeichenwechsel)

Es gibt weder Hoch- noch Tief- noch Wendepunkte.

Nun kannst du D und W angeben / ablesen.

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Ergänzung: Bei der Definiton einer Funktion musst du nur den Definitionsbereich exakt angeben. Der Wertebereich (Wertevorrat) darf Elemente enthalten, die gar nicht als Funktionswerte vorkommen.

Wenn explizit nach der Menge der Werte gefragt wird, die als Funktionswerte vorkommen, gibt es da in der Regel noch etwas zu rechnen.

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Hier ist es so einfach eigentlich, habs verstanden! :

Zähler- und Nennergrad bestimmen:$$f(x)=\frac{4x-3}{2x-5}$$ Beide haben den Grad 1. und wenn ZG=NG ist, dann muss berechnet werden:

y=4/2=2

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Genau: So bestimmst du die horizontale Asymptote y = 2.

Der kürzeste vollständige Rechenweg zur Aussage, dass y = 2 nicht vorkommt, ist in der Rechnung gastjc2144 zu sehen.

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Mir kann kein Mensch erzählen, dass jc2144 das ohne WolframAlpha gemacht hat...

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Das ist nicht so schwer: Ergänze den blauen Zwischenschritt

f(x)=(4x-3)/(2x-5)= (2(2x-5)+7)/(2x-5) = 2 + 7/(2x-5)

7/(2x-5)≠0 für alle x

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Das ist mir zu ungenau. Das ist nicht überall anwendbar. Ich suche nach DEM Rechenweg.

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DER Rechenweg ist eine vollständige Kurvendiskussion.

Und dort z.B. die Bestimmung der horiontalen Tangente y = a.

Nur bist du dann nicht unbedingt fertig, solange du noch nicht gezeigt hast, dass es keine endliche Zahl x gibt mit f(x) = a.

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Bei Funktionen, deren Nennergrad = Zählergrad ist, kann man es anscheinend sofort ablesen:$$f(x)=\frac{5x-2}{3x+2}$$ Dann muss man 5/3 rechnen und ist fertig:

W_f={y∈ℝ | y≠5/3}

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Ich habe gerade noch kein Beispiel bei dem man sofort sieht, dass der Grenzwert als Funktionswert angenommen wird. Dafür habe ich dir mal so was:

~plot~ (x^2 +10)/(2x^2 -0.001);1/2 ~plot~

Was sagst du hier zu W_{f} ?

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Wf={y∈ℝ | y≠1/2}

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Ah ne, geht doch nicht. Danke.

Answer 2

a)

f(x)=(4x-3)/(2x-5)=2+7/(2x-5)

7/(2x-5)≠0 für alle x

b) hier stimmt das Bild der Funktion gar nicht.

Es ist lim x----> -∞ f(x)=-∞

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a) Pluspunkt von mir für y≠2.

Irgendwo sollte mE noch stehen, warum 7/(2x-5) alle reellen Zahlen ≠ 0 annehmen kann(?) .

Answer 3

in deinem zweiten Beispiel ist sie sogar

$$ W_f=\{y\in \mathbb{R}: y\geq 7,5+\sqrt{178} \land y\leq f(2,5-0,5\cdot \sqrt{44,5})\} $$

An der Stelle $$ x_1=2,5-0,5\cdot \sqrt{44,5} $$ hat f einen Hochpunkt und bei $$ x_2=2,5+0,5\cdot \sqrt{44,5} $$ einen Tiefpunkt.

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Wie kommst du auf die Wertemenge?

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Ich habe eine Kurvendisskusion durchgeführt, um so zu schauen, was es für Extrema gibt, um daraus Schlussfomgerungen für die Wertemenge ziehen zu können.

Answer 4

Wie kann man Funktionen wie f(x)=(4x−3)/(2x−5) ablesen, dass sie keinen Wert 2 haben?

2=(4x−3)/(2x−5)

4x-10=4x-3 nicht erfüllbar

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Aber darauf kommt man doch nicht, wenn ich das nun nicht schon verraten hätte.

Answer 5

Du kannst den Grenzwert bilden für x gg. oo und x gg. 2,5.

https://www.wolframalpha.com/input/?i=(4x-3)%2F(2x-5)

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Oder einfach Waagerechte Asymptote berechnen...