Ganzrationale Funktion vierten Grades - Lage der Wendestelle

Question

Kann bei einer ganzrationalen Funktion 4. Grades die Wendestelle genau in der Mitte zwischen zwei extremstellen liegen (Also Wie es bei den Funktionen 3. Grades immer klappt (Ausnahme: nur ein Wendepunkt aber keine extremstellen))?

Ich vermute, dass das nicht möglich ist. Kennt jemand nen Beweis?

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Hast du denn ein Beispiel für eine Funktion 4. Grades mit genau zwei Extremstellen und nur einer Wendestelle?

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natürlich nicht, da das nicht möglich ist. Eine ganzrationale Funktion geraden Grades hat aufgrund von Stetigkeit und globalverlauf (!) immer eine ungerade Anzahl von extremstellen (und umgekehrt). Also hat eine Funktion 4. Grades immer entweder genau eine oder genau drei extremstellen (und damit 0 oder genau 2 wendestellen - alles leicht zu beweisende aussagen). ABER: was hat das bitte mit meiner Frage zu tun????

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Du fragst nach der Lage " der " Wendestelle. Da musst du erst einmal sagen, welche Wendestelle und Mitte zwischen welchen zwei (oder gar drei) Werten?

Answer 1

Hallo versuch es doch einfach

f'(1)=0, f'(3)=0 f''(2)=0  dann noch 2 Bedingungen und stelle eine fkt 4 ten Grades her, wieso soll das nicht gehen?

Gruß lul

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Habe das einige Male erfolglos mit zwei weiteren Bedingungen probiert. Dann habe ich es nur mit den obigen Bedingungen versucht, das unterbestimmte LGS hat unendlich viele Lösungen - allerdings ist a=0 und somit sind das alles ganzrationale Funktionen dritten Grades. Das werte ich als starkes Indiz dafür, dass das nicht möglich ist (mit einer Funktion 4. Grades)

Answer 2

Ganzrationale Funktionen 4. Grades haben in den meisten Fällen zwei Wendestellen und drei Extremstellen. Dann lautet deine Frage : Liegt eine Wendestelle immer genau in der Mitte zwischen zwei aufeinanderfolgenden Extremstellen?

Ein Gegenbeispiel genügt, um das zu widerlegen: f(x)=(x²-1)·(x²-16). Zwei aufeinanderfolgende Extremstellen sind x_E1=0 und x_E2=√34/2. Dazwischen liegt die Wendestelle x_W=√102/6. Die Mitte zwischen x_E1 und x_E2 wäre aber x_m=√34/4.

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Bitte genau lesen. diese Frage habe ich nicht gestellt, es geht nicht darum, ob es IMMER so ist (dann würde in der Tat die Angabe eines Gegenbeispiels reichen), sondern ob es sein KANN. In anderen Worten, kann man das ff. beweisen?

Zeige: bei jeder ganzrationalen Funktion 4. Grades liegt eine wendestelle NIE in der Mitte von zwei extremstellen.

Ich vermute, dass das stimmt.

Der Beweis ginge vielleicht so:

Sei w eine wendestelle von f, f ganzrational und f 4. Grades. Der Koeffizient vor x^4 sei a. Betrachte die Menge an linearen Gleichungsystem (sie sind alle unterbestimmt, haben also weniger Gleichungen als Variablen) mit ff. Bedingungen: f“(w)=0 und f‘(w +/-  b)=0. also drei Bedingungen für 5 unbekannte. Wenn man jetzt a=0 zeigen könnte wäre man fertig

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Verstanden! Deine Frage lautet: Kann es eine Polynomfunktion vierten Grades geben, bei der eine Wendestelle genau in der Mitte zwischen zwei aufeinanderfolgenden Extremstellen liegt?

Meine Antwort: Nein!

Meine Begründung: Bis auf Verschiebung (in x- oder y-Richtng), Spiegelung oder Streckung/Stauchung (in x- oder y-Richtng) haben alle Polynomfunktionen vierten Grades die Form f(x)=(x²-1)(x²-a). Zwei aufeinanderfolgende Extremstellen sind x₁=0 und x₂=√(2a-2)/2.Die zweite Ableitung hat die positive Nullstelle x₃=√(6a+6)/6. Die Behauptung 2x₃=x₂ führt zu a=-1. Dann fallen aber die Extremstellen x₁ und x₂ zusammen

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sorry, das lass ich noch nicht als Beweis durchgehen :-))) auch hier hast du das ganze nur auf einen Spezialfall bewiesen. Hätte das ganze schon allgemein. Also für alle f(x) mit f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e.

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Ich denke, dass sich alle anderen Fälle durch Verschiebung (in x- oder y-Richtung), Spiegelung (an x oder y-Achse) oder Streckung/Stauchung (in x- oder y-Richtung) auf diesen "Spezialfall" zurück führen lassen.

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Bis auf Verschiebung (in x- oder y-Richtng), Spiegelung oder Streckung/Stauchung (in x- oder y-Richtng) haben alle Polynomfunktionen vierten Grades die Form f(x)=(x^2-1)(x^2-a).

Mir ist unklar, warum das richtig sein sollte. Gibt es dafür eine Begründung?

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Nach längerem Nachdenken komme ich zu dem Ergebnis, das das nicht richtig ist. Daher neieu versuch:

Jede Polynomfunktion lässt sich durch Verschiebung (in x- oder y-Richtung), Spiegelung (an x oder y-Achse) oder Streckung/Stauchung (in x- oder y-Richtung) so verformen, dass (0|1) Hochpunkt und (2|0) Tiefpukt ist. Kann dann f''(1)=0 sein?

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auch diese Aussage müsste man erst einmal beweisen, wie soll das gehen? Allgemein kann sie natürlich auch nicht richtig sein, denn manche Funktionen 4. Grades haben ja nur eine Extremstelle. Aber selbst wenn man das beweisen könnte (glaube nicht, dass das richtig ist: Klar, durch Streckung/Stauchung/Verschiebung kriegt man sicherlich einen Extrempunkt zu (0/1), aber warum soll dann automatisch (mit genauer diesem Streckungsfaktor/Verschiebungsfaktor etc.) auch der andere Extrempunkt bei x=2 sein???), verstehe ich immer noch nicht (gesetzt den Fall man könnte zeigen, dass f´´(1) nicht Null sein kann (und das kann man sicher zeigen, da ich ja glaube, dass es NIE möglich ist), was das dann mit der allgemeinen Ausgangsgleichung zu tun hat....wieder hätte man AUSSCHLIESSLICH wieder für eine kleine Teilmenge gezeigt, dass es nicht möglich ist.) Nein, ich denke hier muss man in den sauren Apfel beißen und das unterbestimmte LGS lösen.

Gleichungen f´´(w)=0 (I), f´(w+y)=0 (II) und f´(w-y)=0 (III).

Bei f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e und f´(x)=4ax^3+ebx^2+2cx+d und f´´(x)=12ax^2+6bx+2c führt das dann auch ff. unterbestimmtes LGS:

I: 12w^2*a+6wb+2c=0

II: 4a(w+y)^3+3b(w+y)^2+2c(w+y)+d=0

III: 4a(w-y)^3+3b(w-y)^2+2c(w-y)+d=0

Nun weiter mit binomischer Formel und der dem binomischen Lehrsatz:

angewandt auf (w+y)^3 (oder etwas mühsamer ohne ihn...:-)).

Wer traut sich? Setzt man übrigens für w und y Zahlen ein, geht das rucki zucki. Es ergibt sich zügig a=0 (z.B. w=2, y=1: Im entstehenden unterbestimmten LGS I-III. Gleichung (um d zu eliminieren, anschließend eine Gleichung mal Minus 2 - addieren und schon steht es da: a=0, was dann schon mal im konkreten Fall heißt, dass es KEINE ganzrationale Funktion 4. Grades geben kann, bei der die Extremstellen bei 1 und 3 liegen und die Wendestelle in der Mitte bei x=2)....

Answer 3

Mit dem allgemeinen Ansatz

f(x):=a*x^{4}+b*x^{3}+c*x^{2}+d*x+e

und den Bedingungen

f'(2*p)=f'(2*q)=f''(p+q)=0 für p≠q

müsste entweder a=0 folgen (Beweis),
oder eine Menge von Gegenbeispielen.

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jooo....das müsste folgen. Wer kann es beweisen? :-))))

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Hallo

 vereinfachen der Rechnung, die den Wendepunkt nicht verschiebt

allgemein f(x)=ax^4+bx^3+cx^2+dx+e

stauchen in y Richtung (evtl spiegeln) mit 1/a

x^4+bx^3+cx^2+dx+e, bcde geändert.

Max und min bei x1,x2, Stichen in x Richtung ,so dass x2-x1=2. verschieben in x- Richtung, so dass x1=1. x2=3 Mitte=2

 dann f'(1)=0; f'(3)=0 f''(2)=0

 führt zu

4+3b+2c+d=0

108+27b+6c+d=0

48+12b+2c=0

dieses GS hat keine Lösung, sicherheitshalber mit online Rechner kontrolliert. Damit ist deine Vermutung wahr.

Gruß lul

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ich glaube, die Beweisidee ist richtig....das müsste man jetzt halt noch etwas ausarbeiten im Detail. Warum ist es z.B. möglich, mit einem Streckungsfaktor in x-Richtung die beiden Extremstellen so zu verlagern, dass sie einen Abstand von 2 haben....

Gruß Tom

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Hallo , wenn der Abstand der Maxima d ist musst du doch nur f(dx/2) nehmen derBeweis ist wirklich fertig und eindeutig.

Gruß lul