Wie berechnet man einen Hochpunkt bei negativen Exponenten?

Question

Also, die Aufgabe ist folgende:

Gegeben ist:

Die Form eines Glaszylinders (oben offen)

V= 65cm^3

Gesucht: r & h, sowie der minimale Glasverbrauch ( O )

Ich bin bisher wie folgt vorgegangen:

O = π r² + 2 π r h ( -> Das ist die Hauptbedingung)

Die Nebenbedingung (Nebenfunktion?) grenzt die Funktion ein:

65 = π r² * h | : π r²

^{65/π2 = h}

Diese Werte habe ich in die Hauptbedingung eingesetzt:

O (r) = π r² + 2 r π * (65/πr² )

O (r) = π r ² + 2 * 65/r

O (r) = π r² + 130/r

Das ist die Zielfunktion.

-> Also jetzt die erste Ableitung

O (r) = π r²   + 130 r^ - 1

O ' (r) = 2 π r - 130 ^ - 2

O' (r) = 2 π r - 130 / r^-2

0 = 2 π r - 130 / r^-2

Aber wie rechne ich jetzt hier weiter?

Und ist die zweite Ableitung richtig?

O'' (r) = 2 π r^-1 - 130 / r^-3

Answer 1

Wie berechnet man einen Hochpunkt bei negativen Exponenten?

Bestimme die Nullstellen der Ableitung. Prüfe mit dem Vorzeichenwechselkriterium oder mittels der zweiten Ableitung, ob an diesen Stellen Hoch-, Tief- oder Sattelpunkte vorliegen.

O (r) = π r²  + 130 r^-1

Dann ist O'(r) = 2πr + (-1)·130r^-2 = 2πr - 130r^-2.

Aber wie rechne ich jetzt hier weiter?

Multipliziere die Gleichung 0 = 2πr - 130r^-2 mit r².

Und ist die zweite Ableitung richtig?

O''(r) = 2π  - (-2)·130r^-3 = 2π  + 260r^-3.