DGL: y^2*y' + x^2 = 1

Question

ich benötige hilfe beim Lösen folgender DGL: y^2*y' + x^2 = 1

das sind meine schritte:

y'=1/y^2 - x^2/y^2

substituiere: u= 1/y^2 --> y^2=u --> y= u^1/2 --> y'=1/2*u^{-1/2}

nun einsetzten in DGL 1/2u^{-1/2} = u - x^2/u aber jetzt komme ich nicht weiter, ich denke das was ich getan habe bringt nicht wirklich was

dankee

Answer 1

Wie lautet die genaue Aufgabe? Du kannst Diese DGL über Trennung der Variablen lösen.

y^2*y' + x^2 = 1 | -x^2

y^2*y'          = 1 -x^2

y'=dy/dx

y^2* dy/dx         = 1 -x^2 | *dx

y^2* dy       = (1 -x^2 )dx

usw.

oder durch Substitution:(wenn gefordert in der Aufgabe)

z=y/x

y=z x

y '= z+z'x

eingesetzt:

y' =(1-x^2)y^2

z=y/x eingesetzt:

z +z'x = 1/(x^2 *z^2)  -(1/z)^2

ist aber umfangreicher von der Lösung her.

Answer 2

du brauchst hier nicht zu substituieren, ist doch direkt trennbar:

y^2*y' + x^2 = 1

y^2 y'=1-x^2

y^2 dy =(1-x^2)dx

1/3 y^3 =x-1/3x^3 +c

y^3=3x-x^3 + C

y= (3x-x^3 + C)^{1/3}