Komplexe Zahlen. Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters. Betrag von (1/(1+jwRC) )

Question

es geht um die Übertragungsfunktion eines Tiefpassfilters.

Dort lautet die Funktion: Betrag von (1/(1+jwRC) )

Das Ganze wird aufgelöst, indem mit der komplex konjugierten Zahl (1-jwRC) erweitert wird, was zu folgendem Term führt: Betrag von ((1-jwRC)/(1-j^2(wRC)^2)). Dann wird die Wurzel gezogen, was zu 1/(sqrt(1+(wRC)^2) führt. Meine Frage: was passiert mit dem Zähler 1-jwRC nachdem man den Term quadriert und die Wurzel daraus gezogen hat ? Eigentlich ist es ja so, dass der Betrag einer komplexen Zahl berechnet wird, indem Realteil und Imaginärteil jeweils quadriert werden und daraus die Wurzel gezogen wird. Wird hatte diese Herleitung in der Vorlesung, aber ich finde es wäre doch einfacher direkt von dem Anfangterm diese Regel anzuwenden. Dies führt zum selben Ergebnis.

Ich verstehe einfach nicht, was hierbei mit dem Zähler passiert und würde mich über Hilfe freuen.

VG

Answer 1

hier wurde die dritte binomische Formel verwendet und gekürzt.

(1-jwRC)/(1-j^{2}(wRC)^{2})

=(1-jwRC)/((1-j(wRC))(1+j(wRC)))

=1/(1+j(wRC))

Comments

danke für Rückmeldung. Aber was bringt mir das für meine Rechnung ? Da steht doch derselbe Term wie am Anfang...

VG

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Upps, ich habe deine Frage falsch verstanden gehabt. Du willst ja |1/(1+jwRC)|

Dazu musst du zuerst komplex konjugiert erweitern,damit du die Zahl in kartesischen Darstellung bekommst. Ich hab gedacht du willst die andere Richtung bekommen...

Das wurde zu

|(1-jwRC)/(1-j^{2}(wRC)^{2}) |

=|(1-jwRC)/(1+(wRC)^{2}) |

(1+(wRC)^2) ist eine reelle Zahl und kann vor den Betrag gezogen werden

=|(1-jwRC)|/(1+(wRC)^2)

Und nun vom Zähler den Betrag klassisch berechnen, Wurzel aus Realteil^2+Imaginärteil^2

=√(1+(wRC)^2)/(1+(wRC)^2)

=1/√(1+(wRC)^2)

Answer 2

Du solltest die Rechnung so hinschreiben, wie du sie vor dir hast. Und vollständig.

So ist unklar, was du tust. Du kannst nicht einfach Wurzeln ziehen und quadrieren, wie du willst. Da sollte jeweils noch ein GLEICH sein. Oder eine saubere Umformung einer Formel.

Betrag von ((1-jwRC)/(1-j^{2}(wRC)^{2}))     | j^2 = -1 

= Betrag von ((1-jwRC)/(1+ (wRC)^{2}))       | reellen Faktor vor den Betrag nehmen.

= 1 /(1+ (wRC)^{2})) *  Betrag von ((1-jwRC)       | Definition von Betrag

= 1 /(1+ (wRC)^{2})) *  √(1^2 + (wRC)^2) 

= 1 /(1+ (wRC)^{2})) *  √(1 + (wRC)^2)        | Bruchrechnen

=  √(1 + (wRC)^2)  /(1+ (wRC)^{2}))   | kürzen mit der Wurzel         

= 1 /  √(1 + (wRC)^2)

Comments

Falls du einfach den Betrag ausrechnen sollst, brauchst du die ganze Umrechnung gar nicht.

Betrag von (1/(1+jwRC) )

= |1| / | 1 + jwRC |

= 1 / √(1^2 + (wRC)^2)

= 1 / √(1 + (wRC)^2)

Fertig.