Bestimmen sie alle x die (x-2)/(x²-4) <=0 erfüllen

Question

ich weiß leider nicht genau wie ich die Lösung rechnerisch darstellen soll.

Bestimmen sie alle x e R\{+-2} die die Gleichung erfüllen:

(x-2) / (x²-4) <= 0

Meine Lösung wäre dass alles ab -2, also alles < -2 die Ungleichung erfüllt.

Answer 1

Damit der Ausdruck (x-2) / (x²-4) negativ wird, muss entweder der Zähler oder der Nenner negativ sein.

Zähler negativ: x-2<0 ⇔ x<2

Nenner negativ: x^2-4<0 ⇔ x^2<4 ⇔ x<2 oder x>-2, also Nenner negativ für -2<x<2.

Nun sehen wir, dass für -2<x<2 sowohl Zähler als auch Nenner negativ sind (also der Quotient positiv). Für x>2 ist sowohl Zähler als auch Nenner positiv (also der Quotient positiv).

Es bleibt also der Fall x<-2, hier ist Zähler negativ und Nenner positiv (also Quotient negativ).

Daher ist für jedes Element der Menge {x∈ℝ | x<-2} die Ungleichung (x-2)/(x²-4)<=0 erfüllt.

Comments

Vielleicht wäre es einfacher, zuerst  x - 2  zu kürzen.