Umkehrung der Kurvendiskussion

Question

Aufgabe:
Der Graph einer ganzrationalen Funktion 5. Grades verläuft Punktsymmetrsich zum Ursprung und hat im Wendepunkt WEP (3|y_w) die Wendetangente mit der Gleichung t_w (x) = -202x + 324. Berechnen Sie die Funktionsgleichung dieser Funktion.

[Ergebnis: f(x) = 0.5 * x⁵ - 15x³ + 0.5 * x]

Also den Ansatz habe ich hinbekommen:

Aufgrund der Punktsymmetrie zum Ursprung muss die Funktionsgleichung nur ungerade Exponenten erhalten.

f(x) = a * x⁵ + b * x³ + c * x

Und jetzt komm ich zu meinem Problem, welche Bedingungen muss ich aufstellen um auf die Lösung zu kommen und wie viele müssen das sein? Sollen es drei sein, weil es auch drei Unbekannte gibt?

Ich habe mir folgendes überlegt:
x_w1 = 3; x_w2 = -3; m = -202

1. Bedingung: f''(x_w1) = 0 (Bedingung für ein Wendepunkt)
2. Bedingung: f''(x_w2) = 0 (Punktsymmetrie)
3. Bedingung: f(0) = 0 (nicht zielführend)
4. Bedingung: f'(x_w1) = m (Bedingung für eine Tangente im Punkt P, in dem Fall WEP)
5. Bedingung: f'(x_w2) = m (Punktsymmetrie)

Und der Punkt (0|0) ist auch ein Wendepunkt kann man für den auch weiter Bedinungen aufstellen?

Answer 1

Du brauchst für 3 Parameter 3 Bedingungen.

f"(3)=0

f(3)=t(3)

f'(3)=-202

Comments

Und warum f(3)=t(3)? Für den Schnittpunkt der beiden Funktionen im WEP, richtig?

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Ganz genau......

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Okay danke, dann stand ich kurz aufm Schlauch.

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Kein Ding. Noch ein Hinweis. Bei Symmetrie kannst du nicht aus einer Bedingung zwei machen. Das funktioniert nicht.

Answer 2

welche Bedingungen muss ich aufstellen um auf die Lösung zu kommen

Alle, die in der Aufgabenstellung genannt sind.

Sollen es drei sein, weil es auch drei Unbekannte gibt?

Nein. Es sollen drei sein, weil abgesehen von der Punktsymmetrie (die du ja schon verwendet hast), drei Bedingungen in der Aufgabenstellung genannt sind:

1. Ein Wendepunkt hat die x-Koordinate 3.
2. Die Tangente hat dort die Steigung t_w'(3).
   
3. Die y-Koordinate dieses Wendepunktes ist t_w(3).
   

Wenn du zu wenige Bedingungen hast, dann ist die Funktion nicht eindeutig bestimmt. Wenn in der Aufgabenstellung mehr Bedingungen als Unbekannte gegeben sind, dann kann es sein, dass überhaupt keine passende Funktion existiert.