Aussagen über Mengendifferenz in einem Maßraum beweisen.

Question

Hallo kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen, wo ich irgendwie ein Brett vorm Kopf hab bzw. gar nicht weiß, wie ich starten soll: Sei (X,S,μ) ein Maßraum, (An)n∈ℕ und (Bn)n∈ℕ, zwei Mengenfolgen in S mit A = ∪ An und B = ∪ Bn. Überprüfen sie folgende Aussagen auf ihre Richtigkeit: μ(A\B) <= ∑_n μ(An\Bn) und das gleiche mit der symmetrischen Differenz. Kann mir einer zeigen, wie man das so ca. angehen kann. (Die zwei Eigenschaften, die ein Maß definieren, sind mir bekannt). Grundsätzlich denk ich müsste man einmal drei Fälle unterscheiden: A∩B = ∅, (dann ist es direkt die Maßeigenschaft), A=B (auch leicht, weil links immer null steht und das Maß rechts sicher immer positiv ist), und zu guter Letzt, dann  A∩B ≠ ∅, wo ich nicht wirklich weiß wie ich das angehen kann...

Mit der Bitte um Hilfe,

Mathstiger

Comments

Zwei elementare Rechenregeln für \(A,B,\ldots\in\mathcal S\) sind $$(1)\quad A\subset B\Rightarrow\mu(A)\le\mu(B)$$ und $$(2)\quad\mu(A\cup B\cup\ldots)\le\mu(A)+\mu(B)+\cdots$$

Die wuerde ich dann auf \(\left(\bigcup A_n\right)\setminus\left(\bigcup B_n\right)\subset\bigcup\left(A_n\setminus B_n\right)\) anwenden ...

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Gut danke für die Hilfe, mit den Rechenregeln hab ich das ganze Beispiel jetzt geschafft zu beweisen. Was sich für mich nicht ganz formal erschließt, ist warum die erste Regel gilt, bzw. kann ich das nicht sauber aus den zwei Bedingungen für ein Maß herleiten. Kannst du mir da bitte noch ein bisschen auf die Sprünge helfen.

Den Beweis selber hab ich jetzt. Zuerst obige Teilmengenrelation zeigen, dann die zwei Rechenregeln anwenden und schon hat man das Ergebnis. Bei der symmetrischen Differenz einfach das Ergebnis der normalen Differenz nehmen und die Eigenschaften, dass A\B und B\A disjunkt sind ausnützen.

LG Mathstiger