Taylorpolynom Restgliedabschätzung

Question

Ich habe Für die Funktion $${ f }_{ x }=\frac { 1 }{ 2 } { (sin(x)+cos(x)) }^{ 2 }$$

Folgendes Taylorpolynom berechnet: $${ x }^{ 2 }+\frac { \pi  }{ 2 } x+1-\frac { { \pi  }^{ 2 } }{ 16 }$$

Das ist richtig, aber bei der nächsten Teilaufgabe komme ich nicht mehr weiter:

c) Verwenden sie die Abschätzung π²  < 32, um zu zeigen dass $$ |f(y)-T(y)| <\frac{1}{3} $$

für $$y ∈ (0, \frac{π}{2}) $$ gilt.

Ich kenne die Formel hierfür, sie lautet $$R_{ n }(x)=\frac { f^{ n+1 }(\epsilon ) }{ (n+1)! } (x-x_{ 0 })^{ n+1 }$$

Ich habe aber keine Ahnung was das Epsilon sein soll, in der Lösung wird dafür 3 eingesetzt. Könnte mir jemand erklären woher man das Epsilon bekommt?

Danke und Gruß,

DunKing

Comments

Aber welche Entwicklungstelle ist den gegeben?

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Die Entwicklungsstelle lautet $$ w = \frac{π}{4} $$

Schön das die Frage auch dir hilft :)

Falls es noch wichtig ist, das Taylorpolynom ist zweiten Grades, das bedeutet das man bei der Restgliedabschätzung dann die dritte Ableitung nimmt.

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Falls es noch wichtig ist, das Taylorpolynom ist zweiten Grades, das bedeutet das man bei der Restgliedabschätzung dann die dritte Ableitung nimmt.

Aber nur, wenn man die Abschätzung nach Lagrange verwendet. Es gibt noch andere, z.B. mit Peano.

https://de.wikipedia.org/wiki/Taylor-Formel#Restgliedformeln

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Also ich erhalte ein anderes Taylorpolynom zweiter Ordnung für die Entwicklungstelle \(\pi/4\):$$1-\left(x-\frac{\pi}{4}\right)^2$$

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Wenn du die Klammer ausmultiplizierst, kommst du auf mein Ergebnis:)

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Oh, sorry. Hatte sie in Plotter vergleichen und anscheinend einmal was falsch eingegeben....

Answer 1

Hallo

 es kommt darauf an, für welches Intervall von x ihr die Abschätzung braucht. das epsilon muss dann so gewählt werden, dass f'''(eps) maximal in dem Intervall ist. (meist an einer der Intervallgrenzen)

(wenn man um π/4 entwickelt sollte man das Polynom mit (x-π/4) schreiben statt mit x und x^2)

(und Lagrange ist die übliche Abschätzung.)

Gruß lul