Bogenlänge eines Wegs berechnen

Question

Berechnen Sie die Bogenlänge der folgenden Wege im R2;

$$(a) x(t) = \ln{\tan{t/2}}, y(t) = \ln{ \sqrt{\frac{\sin{t}+1}{1-sin{t}}} }, t \in [\frac{\pi}{6},\frac{\pi}{3}]$$

$$(b) x(t)= 5\sin{t}-\sin{5t}, y(t)= 5\cos{t}-\cos{5t}, t \in [0, 2\pi]$$,

Ich hab bei (a) angenommen das γ(t) =(x(t), y(t)), dann hab ich y° berechnet, also den Ableitungsvektor, aber der ist bei mir schon so groß, dass ich eigentlich nicht mehr weiterrechnen kann... ich weiß nicht wie es sonst machen soll

bei b bin ich so weit gekommen:

$$γ=( 5\sin{t}-\sin{5t}, 5\cos{t}-\cos{5t}), t \in [0, 2\pi]$$

$$γ°=( 5\cos{t}-5\cos{5t}, -5\sin{t}+5\sin{5t})$$

$$||γ°||=\sqrt{50-50*{\cos{t}\cos{5t}+\sin{t}\sin{5t} } }$$

Und die Bogenlänge wär dann das bestimmte Integral davon (von 0 bis 2Pi)

Ist der Weg bei b richtig?

und Liebe Grüße

Answer 1

Aufgabe a)

Aufgabe b) die Ableitungen stimmen.

ich habe erhalten:

=√ (50-50 (cos(t) *cos(5t) +sin(t) sin(5t)))

cos(t) *cos(5t) +sin(t) sin(5t)=cos(4t)

= ∫ (50 - 50 cos(4t)) dt von 0 bis 2π

= ∫ (50 (1- cos(4t)) dt von 0 bis 2π

Substituiere z= 4t

Setze 1 -cos(z)= 2 sin²(z/2)

Ich habe 40 erhalten.