Sei \(t_n = \sum_{i=0}^nT_i\) für jedes \(n\in\mathbb{N}\).
Sei \(m\in\mathbb{N}\). Man kann
\(\sum_{i=0}^ma_i\cdot T^i\)
als Linearkombination
\(\sum_{n\in\mathbb{N}} b_n\cdot t_n\)
darstellen indem man zunächst
\(b_n = 0\)
für alle \(n>m\) setzt. Dann hat man
\(\begin{aligned}\sum_{i=0}^ma_i\cdot T^i &= \sum_{i = 0}^m b_i\cdot t_i\\ &=\sum_{i = 0}^m \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\ &=b_m\cdot \sum_{i=0}^mT^i + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\&=b_m\cdot T^m + b_m\cdot\sum_{i=0}^{m-1}T^i + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\&=b_m\cdot T^m + \sum_{i=0}^{m-1}b_m\cdot T^i + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\ &=b_m\cdot T^m + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right) \end{aligned}\)
und somit
\(\begin{aligned}a_m\cdot T^m + \sum_{i=0}^{m-1}a_i\cdot T^i = b_m\cdot T^m + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right) \end{aligned}\)
Koeffizientenvergleich liefert jetzt \(a_m = b_m\).
Somit muss \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^{m-1}a_i\cdot T^i = \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right) \end{aligned}\) sein.
\(\sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\) ist ein Polynom vom Grad < m. Wenn dieses also als Linearkombination über \((t_i)_{i\in\mathbb{N}}\) dargestellt werden kann, dann auch \(\sum_{i=0}^ma_i\cdot T^i\). Das schreit nach vollständiger Induktion.