Familie (T^0+T^1+...+T^n) Basis in K[T]

Question

Ich versuche mir beispielhaft klarzumachen, dass man ein Polynom der Form $$ \sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i $$ mittels der Familie $$ (T^0+T^1+...+T^n)_{n\in\mathbb{N}} $$darstellen kann, undzwar als Linearkombination. Wäre dies allgemien von der Struktur so zu verstehen?

$$ \sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i=\sum_{n\in \mathbb{N}}a_n\cdot \sum_{m=0}^n a_m\cdot T^m $$

Ich habe mir das mal an diesem konkreten Beispiel angeschaut:

$$ -5\cdot x^0-2\cdot x^2+4\cdot x^2-9\cdot x^3\\=b_0\cdot x^0+b_1\cdot (x_0+x_1)+b_2\cdot (x^0+x^1+x^2)+b_2\cdot (x^0+x^1+x^2)+b_3\cdot (x^0+x^1+x^2+x^3)\\=(b_0+b_1+b_2+b_3)\cdot x^0+(b_1+b_2+b_3)\cdot x^1+(b_2+b_3)\cdot x^2+b_3\cdot x^3 $$Das habe ich dann mit einem LGS gelöst:

$$ \begin{aligned}b_0+b_1+b_2+b_3&=5\\b_1+b_2+b_3&=-2\\b_2+b_3&=4\\b_3&=-9 \end{aligned} $$

Dann bekomme ich:

$$ b_3=-9,\quad b_2=13,\quad b_1=-6,\quad b_0=7 $$

Answer 1

\(\sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i\)

Das ist nur dann ein Polynom, wenn \(a_i = 0\) für fast alle \(i\in \mathbb{N}\) gilt. Ansonsten ist es eine (Potenz)Reihe.

\(\sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i=\sum_{n\in \mathbb{N}}a_n\cdot \sum_{m=0}^n a_m\cdot T^m\)

Wegen Punkt- vor Strichrechnung ist das

        \(\sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i=\sum_{n\in \mathbb{N}}\left(a_n\cdot \sum_{m=0}^n a_m\cdot T^m\right)\)

Hast du das wirklich gemeint?

Unabhängig davon könntest du ja mal schauen, wie du den \(T^1\)-Summanden auf der linken und auf der REchten Seite hinbekommst.

Auf der linken Seite ist das eindeutig: es muss \(i=1\) sein, also lautet der Summand

        \(a_1\cdot T^1\).

Auf der rechten Seite hast du

        \(\begin{aligned} \sum_{n\in \mathbb{N}}\left(a_n\cdot \sum_{m=1}^1 a_m\cdot T^m\right)&=\sum_{n\in \mathbb{N}}\left(a_n\cdot a_1T^1\right)\\ &=a_1T^1\cdot \sum_{n\in \mathbb{N}}a_n\end{aligned}\)

Es gilt nur dann

        \(a_1T^1 = a_1T^1\cdot \sum_{n\in \mathbb{N}}a_n\),

wenn \(\sum_{n\in \mathbb{N}}a_n = 1\) ist. Das wird aber in der Aufgabenstellung überhaupt nicht gefordert.

Comments

Das wird aber in der Aufgabenstellung überhaupt nicht gefordert.

Wie soll denn aber sonst diese Familie zu verstehen sein? Wenn das so ist, ist das gar nicht einsichtig, weil es sich ja im Grunde genommen nur um eine einelementige Familie handelt, bestehend aus einer Summe von Potenzen. $$ \sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i=\sum_{n\in \mathbb{N}}\left(a_n\cdot \sum_{m=0}^n  T^m\right) $$ habe ich eigentlich gemeint. Aber Klammern vergessen.

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\(\sum_{i\in \mathbb{N}}a_i\cdot T^i=\sum_{n\in \mathbb{N}}\left(a_n\cdot \sum_{m=0}^n  T^m\right)\) habe ich eigentlich gemeint.

Das hieße dann ja, dass

        \(\begin{aligned}a_2T^2 &= \sum_{n\in\mathbb{N}}\left(a_n\sum_{m=2}^2T^m\right)\\&=\left(\sum_{m=2}^2T^m\right)\cdot\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n\\&=T^2\cdot \sum_{n\in\mathbb{N}}a_n\\&=\left(\sum_{n\in\mathbb{N}}a_n\right)T^2\end{aligned}\)

ist. Das ist offensichtlich nur dann der Fall, wenn \(\sum_{n\in\mathbb{N}\setminus \{2\}}a_n = 0\) ist. Aber auch das wird in der Aufgabenstellung nicht gefordert.

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Es sind doch aber fast alle a_n=0, was aus der Definition für Polynome hervorgeht.

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Was mache ich falsch??? Wie macht man es denn richtig?

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Sei \(t_n = \sum_{i=0}^nT_i\) für jedes \(n\in\mathbb{N}\).

Sei \(m\in\mathbb{N}\). Man kann

        \(\sum_{i=0}^ma_i\cdot T^i\)

als Linearkombination

        \(\sum_{n\in\mathbb{N}} b_n\cdot t_n\)

darstellen indem man zunächst

        \(b_n = 0\)

für alle \(n>m\) setzt. Dann hat man

        \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^ma_i\cdot T^i &= \sum_{i = 0}^m b_i\cdot t_i\\ &=\sum_{i = 0}^m \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\ &=b_m\cdot \sum_{i=0}^mT^i + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\&=b_m\cdot T^m + b_m\cdot\sum_{i=0}^{m-1}T^i + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\&=b_m\cdot T^m + \sum_{i=0}^{m-1}b_m\cdot T^i + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\\ &=b_m\cdot T^m + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right) \end{aligned}\)

und somit

        \(\begin{aligned}a_m\cdot T^m + \sum_{i=0}^{m-1}a_i\cdot T^i = b_m\cdot T^m + \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right) \end{aligned}\)

Koeffizientenvergleich liefert jetzt \(a_m = b_m\).

Somit muss \(\begin{aligned}\sum_{i=0}^{m-1}a_i\cdot T^i = \sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right) \end{aligned}\) sein.

\(\sum_{i = 0}^{m-1} \left(b_m\cdot T^i + b_i\cdot \sum_{j=0}^iT^j\right)\) ist ein Polynom vom Grad < m. Wenn dieses also als Linearkombination über \((t_i)_{i\in\mathbb{N}}\) dargestellt werden kann, dann auch \(\sum_{i=0}^ma_i\cdot T^i\). Das schreit nach vollständiger Induktion.

Answer 2

   Irgendwo denkst du total rückwärts. Oder meinst du zufällig etwas anderes, als ich verstanden habe?

    Die Polynome  über  K  bilden einen unendlich-dimensionalen Vektorraum  :    K  [  x  ]   ,  denn    du benötigst unendlich viele Basisfunktionen:

   x  ^ 0  :=  1  ;  x  ^ 1  ;  x  ²  ;  x  ³  ;  x  ^ 4   ;  x  ^ 5             (  1  )   

    Schreib dochmal ein ganz normales Polynom hin, z.B. ein reelles:

    2.15 x ^ 5  - 47.11 x ^ 4  +  13  x ³  - Pi x ²  + 20.21 x - 1 234       (  2  )

     Oder reden wir total aneinander vorbei?

Comments

Die Polynome  über  K  bilden einen unendlich-dimensionalen Vektorraum  :    K  [  x  ]  ,  denn    du benötigst unendlich viele Basisfunktionen:

Ja, auf diesem Standpunkt bin ich auch. Nur scheint ja bei meinem Geschriebenen der Wurm drin zu sein. Aber wo?