H(x) und k(x); Ableitungsaufgaben

Question

Kann mir bitte jemand bei dieser Aufgabe helfen?

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b) Zeigen Sie: Wenn der Graph einer Funktion h \((h(x) \ne 0)\) im Punkt P(0/1) eine waagerechte Tangente hat, dann hat auch der Graph von k mit k(x) = 1/(h(x)) im Punkt Q(0/k(0))) eine waagerechte Tangente.

c) Wahr oder falsch? Begründen Sie.
Wenn der Graph einer Funktion h \((h(x) \ne 0)\) im Punkt P(OI1) eine waagerechte Tangente hat, dann hat auch der Graph der Funktion m mit m(x) = x/h(x) im Punkt Q(0/ m(0)) eine waagerechte Tangente.

Answer 1

Bilde k'(x) mit Quotienten- oder Kettenregel.

Comments

Was soll ich danach machen?

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... wenn Du z.B. nach der Kettenregel \(k'(x)\) berechnet hast

$$k(x) = \frac1{h(x)} = h^{-1}(x)\\ k'(x)= - h ^{-2}(x) \cdot h'(x) = \frac{-h'(x)}{h^2(x)}$$

Dann setzt Du \(x=0\) und bekommst:

$$k'(x=0) = \frac{-h'(0)}{h^2(0)} = \frac{0}{h^2(0)} = 0; \quad \text{da} \space h(0) \ne 0$$

Ergo hat auch \(k(x)\) an der Stelle \(x=0\) eine waagerechte Tangente.

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Dankeschön für deine Hilfe. Ich habe auch die C gemacht, könntest du bitte sagen, ob ich es richtig gemacht habe?

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... könntest du bitte sagen, ob ich es richtig gemacht habe?

Ja - ist richtig; bis auf eine Kleinigkeit, die ich auch falsch gemacht hatte! \(h(0)\) muss nicht zwingend \(=1\) sein. In der Aufgabe steht, dass \(h(0)\ne 0\) ist. Das ändert aber nichts an der Aussage.

Es würde auch ein Gegenbeispiel genügen - z.B. \(h(x)=x^2+1\) $$\Rightarrow m(x)=  \frac{x}{h(x)} = \frac{x}{x^2+1}$$

~plot~ x/(x^2+1);[[-2|+2|-1|1]];x ~plot~

\(m(x)\) hat keine waagerechte Tangente bei \(x=0\). Die Aussage unter c) ist also falsch.