Vektoren: Von einem Dreieck sind die Eckpunkte ABC gegeben:

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Vektoren: Von einem Dreieck sind die Eckpunkte ABC gegeben:

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Hallo Azan,

... will ich wissen, wie ich den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius berechne.

Roland hat schon recht. Die Punkte sind so gewählt, dass einem das Ergebnis in den Schoß fällt. Der Umkreismittelpunkt $U$ liegt auf der Mitte der Strecke $CA$ bei $(2|1)$ und der Radius $r$ des Umkreises ist $r=5$.

Ausrechnen kann man das, indem man den Schnittpunkt der Mittelsenkrechten bestimmt. Dazu ist im ersten Schritt z.B. die Parameterform von zwei der Mittelsenkrechten aufzustellen. Man benötigt also jeweils einen Punkt und einen Richtungsvektor. Ich wähle die Mittelsenkrechten durch $AB=c$ und $BC=a$. Die Mittelsenkrechten gehen durch die Mittelpunkte der Seiten. Die Mittelpunkte der Seiten berechnen sich aus dem Mittel der beiden Eckpunkte: $$M_c = \frac12 (A+B) = \frac12 \left( \begin{pmatrix} -1\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\-3 \end{pmatrix}\right) = \frac12 \begin{pmatrix} 4\\-6 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix}$$ $$M_a = \frac12 (B+C) = \frac12 \left( \begin{pmatrix} 5\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 5\\5 \end{pmatrix}\right) = \frac12 \begin{pmatrix} 10\\ 2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix}$$ Um die Richtungsgeraden zu bestimmen drehe ich die Richtungsvekoren der Seiten im rechten Winkel. Angenommen ein Vektor $v$ hat die Koordinaten $$v = \begin{pmatrix} x\\ y \end{pmatrix}$$ dann hat ein Vektor $v \perp$ die Koordinaten $$v \perp = \begin{pmatrix} -y\\ x \end{pmatrix}$$ D.h. wenn $c=B-A= \begin{pmatrix} 6& 0 \end{pmatrix}^T$ dann ist der Vektor $n_c$ (rot) senkrecht dazu: $$n_c = c \perp = \begin{pmatrix} 0\\ 6 \end{pmatrix}$$ die Mittelsenkrechte von $c$ ist also: $$m_C: \space x = M_c + n_c \cdot r =\begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot r$$ Genauso ist die Mittelsenkrechte durch $a$ mit dem Richtungsvektor $n_a$ (gelb): $$m_A: \space x = M_a + n_a \cdot s= \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8\\ 0 \end{pmatrix} \cdot s$$ Den Schnittpunkt $U$ und damit den Mittelpunkt des Umkreises findet man nun durch Gleichsetzen der beiden Geraden: $$\begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot r = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -8\\ 0 \end{pmatrix} \cdot s$$ ein wenig umstellen ...$$\begin{pmatrix} 0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot r + \begin{pmatrix} 8\\ 0 \end{pmatrix} \cdot s = \begin{pmatrix} 5\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 3\\4 \end{pmatrix}$$ Dies sind zwei Gleichungen mit den zwei Unbekannten $r$ und $s$ und da zwei Nullen drin vorkommen, lässt sich das Ergebnis gleich ablesen: $r=2/3$ und $s=3/8$. Einsetzen in eine der beiden Geradengleichungen gibt den Schnittpunkt $U$: $$U = m_c(r = 2/3) = \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 6 \end{pmatrix} \cdot \frac23 = \begin{pmatrix} 2\\-3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 0\\ 4 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix}$$ Den Radius $r$ des Umkreises erhält man aus der Länge der Strecke von $U$ zu einem der Eckpunkte: $$ r = |AU| = |U - A| = \left| \begin{pmatrix} 2\\ 1 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} -1\\ -3 \end{pmatrix}\right| = \left| \begin{pmatrix} 3\\ 4 \end{pmatrix}\right|= \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$$ Falls Du noch Fragen hast - z.B. zum Flächeninhalt (F = 24) - so melde Dich bitte noch mal.

Gruß Werner

Beantwortet 11 Okt 2018 von Werner-Salomon

Hallo Azan,

Du könntest uns das Antworten leichter machen, wenn Du uns entweder mitteilst wo genau Deine Schwierigkeit liegt, den Flächeninhelt zu berechnen, oder zumindest sagst, welche Grundlagen ihr dazu aktuell in der Schule lernt.

Es handelt sich hier um ein rechtwinkliges Dreieck mit rechtem Winkel im Punkt $B$. Ein rechtwinkliges Dreieck ist die Hälfte eines Rechtecks, welches entlang einer Diagonalen halbiert wurde. Somit ist hier die einfachste Methode, das Produkt der Katheten zu halbieren.

$$F = \frac12 |AB| \cdot |BC| = \frac12 \cdot 6 \cdot 8 = 24$$

Wäre es ein allgemeines Dreieck, so müsstest Du eine der Höhen bestimmen. Wenn man es sich schwer machen will, bestimmt man in diesem Fall die Höhe $h_b$ - also den Abstand des Punktes $B$ zur Geraden durch $A$ und $C$. Dazu berechnete man zunächst den Fußpunkt $F_B$ des Lotes von $B$ auf diese Gerade:

$$b = A - C = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 5 \\ 5 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}$$

$$F_b = A + b \cdot \frac{(B-A) \cdot b}{b^2} \\ \space = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} \frac{ \left( \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix}- \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} \right) \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix}}{(-6)^2 + (-8)^2} \\ \space = \begin{pmatrix} -1 \\ -3 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} -6 \\ -8 \end{pmatrix} \cdot \frac{-36}{100} \\ \space = \begin{pmatrix} 1,16 \\ -0,12 \end{pmatrix}$$

Die Höhe $h_b$ ist dann:

$$h_b = |FB| = |B - F | = \left| \begin{pmatrix} 5 \\ -3 \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} 1,16 \\ -0.12 \end{pmatrix}\right| \\ \space = \left| \begin{pmatrix} 3,84 \\ -2,88 \end{pmatrix} \right| = \sqrt{3,84^2 + (-2,88)^2} = 4,8$$

Der Flächeninhalt des Dreiecks berechnet sich dann aus

$$F = \frac12 h_b \cdot |b| = \frac12 \cdot 4,8 \cdot \sqrt{(-6)^2 + (-8)^2} \\ \space = \frac12 \cdot 4,8 \cdot 10 = 24$$ ... oder Du bestimmst den Abstand $h_b$ mit Hilfe der Normalform der Geraden durch $AC$

... oder Du berechnest die Fläche mit Hilfe des Kreuzprodukts: $$F = \frac12 | a \times b| = \frac12 \left|\begin{pmatrix} 6 \\ 0 \end{pmatrix} \times \begin{pmatrix} -6\\ -8\end{pmatrix} \right| \\ \space= \frac12 \cdot |6 \cdot (-8) + 0 \cdot (-6)| = 24$$

Ich weiß nicht, was Ihr zur Zeit in der Schule dran habt.

Kommentiert 15 Okt 2018 von Werner-Salomon

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Roland · Answer 1 · 2018-10-11T11:31:59+0000

Von einem Dreieck sind die Eckpunkte A,B,C gegeben: A(-1/-3), B(5/-3) und C(5/5).
Berechnen Sie:
• die Richtungsvektoren der Seiten (a,b,c) und ihren Längen

Es gibt drei Punktepaare deren Differenz jeweils zu berechnen ist.

• den Umkreismittelpunkt und Umkreisradius

Schnittpunkt der Mittelsenkrechten zweier Seiten. Dessen Abstand von einer Geraden auf der eine Seite liegt.

• den Flächeninhalt des Dreickes.

(Länge einer Seite) · (Abstand des dritten Punktes von dieser Seite)/2.

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