Gegebene Mengen von Vektoren in R^4 und (Z5)^4. Welche sind linear unabhängig?

Question

Welche dieser 3 Mengen sind linear unabhängig?

\( \left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}3 \\ 1 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)\right\}\left\{\left(\begin{array}{l}1 \\ 1 \\ 2 \\ 4\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 2 \\ 3 \\ 3\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 3 \\ 4 \\ 2\end{array}\right)\right\}\left\{\left(\begin{array}{l}2 \\ 0 \\ 2 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{l}1 \\ 0 \\ 3 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ 1 \\ 4 \\ 1\end{array}\right),\left(\begin{array}{c}1 \\ -1 \\ 4 \\ -1\end{array}\right)\right\} \)

a) im R ⁴

b) im (Z₅) ⁴

Könnte mir jemand mal eine Menge für a) und b) anhand eines Beispiels erklären?

Answer 1

a)

[1, 2, 3, 4] und [3, 1, 4, 2] sind im R^4 linear unabhängig weil:

k * [1, 2, 3, 4] ≠ [3, 1, 4, 2]

b)

[1, 2, 3, 4] und [3, 1, 4, 2] sind im (Z5)^4 linear abhängig weil:

3 * [1, 2, 3, 4] = [3, 6, 9, 12]

[3, 6, 9, 12] mod 5 = [3, 1, 4, 2]

Comments

also ist k hier irgendeine reelle Zahl bei a) ?!

so. ich probiers jetzt mal:

a) (1 1 2 4 ) , (1 2 3 3 ) und (1 3 4 2) sind im R⁴ linear unabhängig weil:

k * (1 1 2 4) ≠ ( 1 2 3 3) ≠ (1 3 4 2) Somit existiert kein k welches erfüllt, dass die Mengen ein Vielfaches des Anderen wären.

b) (1 1 2 4 ) , (1 2 3 3 ) und (1 3 4 2) sind im Z₅⁴ linear unabhängig weil:

3* (1 1 2 4) = (3 3 6 12) -> (3 3 6 12) mod5 = (3 3 1 2)

hier ist k ∈Z und es existiert kein k, sodass die Mengen im Z₅⁴ linear abhängig wären.

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Schau mal unter https://de.wikipedia.org/wiki/Lineare_Unabhängigkeit

Drei Vektoren wären linear abhängig, wenn sich ein Vektor als Linearkombination der beiden anderen schreiben lässt.
-1 * [1, 1, 2, 4] + 2 * [1, 2, 3, 3] = [1, 3, 4, 2]

Da der dritte Vektor eine Linearkombination der beiden anderen ist, sind die Vektoren linear abhängig.