Integralrechnung bei e-Funktion

Question

Hi zusammen,

ich habe heute eine Aufgabe bekommen:

Berechnen sie die Integrale!

Die ersten Aufgaben davon konnte man auch gut lösen, aber dann kam folgende:

∫(x^k*e^{-γx}dx

Ich es erst mit partieller Integration probiert, allerdings kommt dann ja immer noch ein Produkt raus, und dann setzt sich unendlich fort.

Habe ich mich verrechnet, oder muss man eine andere Integrationsmethode nutzen?

LG Jan

Comments

Könnte dies gemeint sein?$$\int x^k \cdot \text{e}^{\left(-yx\right)}\:\text{d}x  $$

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Lautet die Aufgabe wirklich so?

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Ja, der erste Kommentar hat es etwas übersichtlicher geschrieben

Answer 1

Ich es erst mit partieller Integration probiert, allerdings kommt dann ja immer noch ein Produkt raus, und dann setzt sich unendlich fort.

Nein, das setzt sich nicht unendlich fort. Nach k partiellen Integrationen ist die Potenz von x verschwunden, da der Exponent mit jeder partiellen Integration um eins kleiner wird (wenn man's richtig rum macht).

Wenn man das Integral \(I_k(x)\) nennt, erhaelt man die Rekursionsformel $$I_k(x)=\frac{k}{\gamma}I_{k-1}(x)-\frac{1}{\gamma}x^ke^{-\gamma x}$$ und \(I_0(x)=-\frac{1}{\gamma}e^{-\gamma x}\) ist klar.

Answer 2

Also ich komme auf keine Lösung (mit den üblichen Methoden)

Soll hier auch noch eine Fallunterscheidung getan werden?

Orginalaufgabe,Druckfehler??

Answer 3

du kannst die Fälle k=0,1,2,3 ausrechnen und eine Vermutung aufstellen, dann mit Induktion beweisen.

Oder du machst den Ansatz

$$F(x)=e^{-\gamma x}\sum_{n=0}^{k}{a_nx^n}$$

Und leitest diesen ab, um die a_n per Koeffizientenvergleich zu ermitteln.

Ich  komme auf mit probieren auf:

$$\int x^ke^{-\gamma x}dx =-\frac{1}{\gamma^k}[\sum_{n=0}^{k}{\gamma^n \frac{k!}{n!}x^n}]e^{-\gamma x}$$