Mehr Apfelsaft im Kirschsaft oder umgekehrt?

Question

Ich habe 2 Gefässe (je 2l Volumen). In einem sind 1l reiner Apfelsaft (AS), im anderen 1l reiner Kirschsaft (KS).

Ich entnehme genau 0,1l des AS, schütte dies in den KS und mische gründlich durch. Dann entnehme ich 0,1l des Mischsaftes und schütte dies in den AS.

1) Ist jetzt mehr AS im KS oder mehr KS im AS oder ist das Verhältnis gleich?

2) Wie oft muss ich das machen um ein Mischverhältnis von 50:50 zu erhalten?

Wäre für eine "Formel" dankbar.

Answer 1

Wir vergrößern mal das Ganze und nehmen uns 100 grüne Murmeln (Apfelsaft) und 100 rote Kugeln (Kirschsaft).

Jetzt entnehmen wir der Menge von 100 grünen Kugeln genau 10 Kugeln und tun diese zu den Roten Kugeln dazu. Die mischen wir jetzt gründlich und nehmen uns blind hier 10 Kugeln heraus und packen diese zu den grünen Kugeln.

Wir haben jetzt wieder 2 getrennte Haufen mit jeweils 100 Kugeln. Sind jetzt mehr rote Kugeln bei den grünen oder mehr grüne bei den roten?

Richtig! Es sind genau gleich viele. Denn angenommen wir haben in dem einen Haufen jetzt 92 grüne und 8 rote Kugeln, muss im anderen Haufen die Ergänzungsmenge zu 100 sein. D.h. 8 grüne und 92 rote.

Um jetzt den Anteil Apfelsaft p im ersten Gefäß zu beschreiben nutzen wir eine Folge. Wenn der Anteil Apfelsaft im ersten Gefäß p ist, dann ist der Anteil Apfelsaft im zweiten Gefäß sicher (1 - p) oder? Jetzt nehme ich also 1/10 p aus dem ersten Gefäß heraus, vermische dass und von dem Ganzen geht 1/11 wieder zurück. Das lässt sich Formelmäßig durch:

p1 sind dabei 100% = 1
p_n+1 = 9/10 p_n + 1/11 (1 - p_n + 0,1 p_n) = 9/10 p_n + 1/11 (1 - 9/10 p_n) = 9/11 p_n + 1/11

beschreiben. Die Frage wäre, wann kommen links für p_n+1 genau 0,5 heraus. Der passiert genau dann, wenn wir vorher schon p_n = 0,5 hatten. Da wir vorher ja aber vorher keinen Anteil von 0,5 hatten, können wir auch nachher keinen Anteil von 0,5 erwarten.

Die Folge hat also als Grenzwert 0,5 aber erreicht diesen rein rechnerisch nie.

War das so einigermaßen verständlich?

Comments

Ich könnte aber z.B. ausrechnen nach wie viel mal umkippen ich in dem ersten Gefäß weniger als 51% Apfelsaft habe.

Dazu wandel ich mir meine rekursive Formel in eine explizite Formel um und setze diese < 0,51. Das löse ich dann auf:

(9/11)^n + (1/11 - 1/11·(9/11)^n)/(1 - 9/11) < 0.51

n > 19.49

Damit müsste ich 20 mal umfüllen um im ersten Gefäß einen Apfelsaftanteil von weniger als 51% zu haben.

Answer 2

Ich beschränke mich mal nur auf die Antwort zu a)

Hier spielen die Volumina und die Volumenanteile der beiden Komponenten AS und KS eine Rolle.

Wenn ich vom reinen (= 100%) AS 0,1 l entnehme und dies in den KS schütte, dann passiert folgendes:

1. Das Gesamtvolumen wird größer und

2. Die Anteile von AS und KS verändern sich.

Gesamtvolumen = 1,0 l (KS) + 0,1 l (AS) = 1,1 l (Mischsaft 1)

Anteil AS = Volumen von AS/Gesamtvolumen = 0,1 l /1,1 l = 0,09

Anteil KS = Volumen von KS/Gesamtvolumen = 1,0 l/1,1 l = 0,91

Die Summe der Anteile in einem Gemisch muss immer Eins ergeben: 0,09 + 0,91 = 1 (Stimmt also formal)

Gemisch 1 mit dem Gesamtvolumen von 1,1 l hat dann folgende Zusammensetzung: 9% AS und Rest (= 91 %) KS

Wenn ich vom Gemisch 1 (= Mischsaft1) 0,1 l entnehme, dann bleibt die vorgenannte Zusammensetzung bestehen. Erst wenn ich dieses Gemisch mit AS vermische, ändern sich wieder Gesamtvolumen und die Anteile von AS und KS:

Gesamtvolumen = 1,0 l (AS) + 0,1 l (Mischsaft 1) = 1,1 l (Mischsaft 2)

Wir wissen, dass im Mischsaft 1 9% AS und 91% KS enthalten sind. Wenn wir 100 % AS mit viel größerem Volumen dazu mischen, sollte der Anteil von AS im neuen Gemisch steigen:

Anteil von AS * Volumen von Mischsaft1 + Anteil von KS * Volumen von Mischsaft 1 + Anteil von AS * Volumen von AS = Gesamtvolumen vom Mischsaft2 0,09*0,1 l (AS) + 0,91*0,1 l (KS) + 1*1,0 l (AS) = 1,1 l (Mischsaft2)

0,009 l (AS) + 0,091 l (KS) + 1 l (AS) = 1,1 l

1,009 l (AS) + 0,091 l (KS) = 1,1 l

Wir sehen nun, dass im Mischsaft 2 mit einem Gesamtvolumen von 1,1 l 1,009 l AS und nur 0,091 l KS enthalten sind.

Die Zusammensetzung des Mischsaftes 2 ergibt sich dann:

Anteil AS = Volumen AS/Gesamtvolumen = 1,009 l /1,1 l = 0,92 (= 92 %)

Anteil KS = Volumen KS/Gesamtvolumen = 0,091 l /1,1 l = 0,08 ( = 8 %)

a) Falls ich mich nicht verrechnet und richtig gerundet habe, ist mehr AS im KS und weniger KS im AS.

Comments

Huch, Denkfehler bei mir. Beim. 2. Mischen habe ich 1,0 l AS angesetzt, was nicht stimmt. Denn es wurde ja 0,1 l entnommen insofern sind nur noch 0,9 l AS vorhanden.

Anteil von AS * Volumen von Mischsaft1 + Anteil von KS * Volumen von Mischsaft 1 + Anteil von AS * Volumen von AS = Gesamtvolumen vom Mischsaft2

0,09*0,1 l (AS) + 0,91*0,1 l (KS) + 1*0,9 l (AS) = 1,0 l (Mischsaft2)

0,009 l (AS) + 0,091 l (KS) + 0,9 l (AS) = 1,0 l

0,909 l (AS) + 0,091 l (KS) = 1,0 l

Wir sehen nun, dass im Mischsaft 2 mit einem Gesamtvolumen von 1,0 l 0,009 l AS und 0,091 l KS enthalten sind.

Die Zusammensetzung des Mischsaftes 2 ergibt sich dann:Anteil AS = Volumen AS/Gesamtvolumen = 0,909 l /1,0 l = 0,91 ( ~ 91 %)

Anteil KS = Volumen KS/Gesamtvolumen = 0,091 l /1,0 l = 0,091 ( ~ 9 %)

a) Somit ist die Antwort von Lu richtig.

Sorry, bin irgendwie unkonzentriert in letzter Zeit .-)

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Ist ja gut, wenn die Leute kritisch abschreiben. HIer kann nicht immer alles stimmen. ;-)

Answer 3

1) 1. Mal hin und her

hin.

0.9l Links nur AS                                                                      1.1l Rechts. Davon 1/11 AS und 10/11 KS

her.

1l LInks. (0.9 + (1/11)0.1) lAS  und (10/11)0.1 l KS         1 l Rechts. 1/11l AS und 10/11l KS

 10/11 l AS       und 1/11l KS

Also: Gleich viel KS in AS wie AS in KS. Man verliert weder KS noch AS und deshalb müssen AS zusammen und KS zusammen immer noch 1 ergeben.

2) Ganz gleich (Also 50:50) wird das vermutlich nie.

Man kommt mit dieser Operation immer näher an 50:50 ran.

Ich rechne mal noch einen Schritt weiter. Dann kannst du vielleicht oder jemand anders noch eine schlaue Formel aufstellen.

2. Mal hin und her

hin: 0.9l Links. 0.9*(10/11) l AS und 0.9*(1/11) l  KS            1.1l Rechts. 

                                                                                                               1/11 l AS + 1/11 l AS und 10/11 l KS + 0.1/11 l KS

                                                                                                                 2/11 l AS und 10.1/11 l KS

her.

1l Links. 0.9*(10/11) l +( 2/11)/11 l AS und 0.9*(1/11) l + (10.1/11)/11 l KS

0.8347 l AS     und 0.16529 l KS                                              1l Rechts umgekehrt.

                                                                                                        0.8347 l KS     und 0.16529 l AS

 

 

Answer 4

zu 2 ] wenn das Ziel ist,  eine Mischung  im Verhältnis1:1 herszustellen  , ganz pragmatisch beide Getränke in ein Gefäß zu schütten, und gut durchzurühren.

Comments

Du hast die Aufgabe nicht verstanden!

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Die Aufgabe geistert schon seit der Feuerzangebowle , dort mit  Weißwein und Rotwein, durch den Mathematikunterricht.Hier ist es die anti-alkeholische Variante.