Leere Menge in Potenzmenge schneiden

Question

Hallöchen!

Man habe die Relation R := {(M, N) ∈ P(Z) × P(Z) : M ∩ N = ∅} zwischen dem Produkt der Potenzmenge der ganzen Zahlen.

Hier habe ich folgendes Problem bei der Frage, ob R irreflexiv ist - muss man die leere Menge der Potenzmengen mit einbeziehen? Falls ja, ist die Relation ja nicht irreflexiv (da die Schnittmenge zweier leeren Mengen eine leere Menge ist), ansonsten aber doch irreflexiv (da für alle anderen enthaltenden Mengen gilt: A∩A!=∅).

Answer 1

muss man die leere Menge der Potenzmengen mit einbeziehen?

Die leere Menge ist Element der Potenzmenge.

Also musst du prüfen, ob ∅∩∅=∅ ist.

Falls ja, dann ist (∅, ∅) ∈ R.

Comments

Gerade die Prüfung der Aussage ∅∩∅=∅ bereitet uns Schwierigkeiten. Wir wissen nicht genau, wie wir vorgehen müssen.

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Angenommen ∅∩∅ ≠ ∅. Sei dann a ∈ ∅∩∅.

Laut Definition von ∩ ist dann a ∈ ∅. Das ist ein Widerspruch zur Defintion von ∅.

Also ist ∅∩∅ = ∅.