Zwei Terme mit mehreren Unbekannten und eine Gleichung.

Question

ich brauche nur einen Anstoß. Ich habe folgende Aufgabenstellung:

Es bezeichne S die Menge aller reellen Zahlen der Form a + bs, wobei s := √2, und a und b rationale Zahlen seien, also:
S := {a + b√2 : a, b ∈ Q}.

Zeigen Sie:

sind a, b, c, d, e ∈ Q, so gilt a+bs+cs² +ds³ +es⁴ ∈ S, und a+bs+cs² +ds³ +es⁴ ∈ Q
genau dann, wenn b + 2d = 0.

Ich verstehe nicht genau, was ich jetzt machen soll, weil ich hab ja zwei mal den gleichen Term, nur dass er einmal zu S und einmal zu Q gehört. Ich kann zwar b = -2d machen, aber wenn ich das in den Term einsetze bleibt halt nur a + 2c + 4e übrig und ich weiß nicht, wie ich weiter verfahren soll.

Hat jemand vielleicht eine Idee, was ich da machen soll? (Ich erwarte keine komplette Lösung, nur Hilfe dabei, was ich überhaupt machen soll :D)

Alex

Answer 1

sind a, b, c, d, e ∈ Q, so gilt a+bs+cs2 +ds3 +es4 ∈ S, und a+bs+cs2 +ds3 +es4 ∈ Q
genau dann, wenn b + 2d = 0.

Seien also a, b, c, d, e ∈ Q und  gilt a+bs+cs^2 +ds^3 +es^4 ∈ S

wegen s=√2 heißt das  a+b√2 + c*2 + d*2*√2 + e*4 ∈ S

               ==>   (a+2c + 4e) + ( b+2d)*√2  ∈ S

wenn das  aus Q ist, muss also b+2d = 0 .

Ist umgekehrt b+2d = 0 , dann ist es natürlich in Q.

Comments

Und das wars? Also ich schreib das einfach so hin und das ist so bewiesen?

Warum ist (a+2c+4e) + (b+2d)*√2 ∈ S?

Und warum muss dann b+2d=0 sein?

Sorry, wenn die Fragen dumm sind, aber ich verstehs noch nicht so ganz. :/

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Der Faktor $$\sqrt{2}$$ ist irrational.

Jetzt denke mal drüber nach, wann das Ergebnis TROTZDEM rational sein könnte...

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Achso, wenn b+2d=0 ist, dann ist das Ergebnis rational, da √2 dann ja verschwindet.

Oder?

Answer 2

s³ = s² · s = 2 · √2 ∈ S

s⁴ = 4 ∈ ℚ

Zeigen Sie:

ich hab ja zwei mal den gleichen Term

Terme kann man nicht zeigen (im Sinne von beweisen)

Aussagen kann man beweisen. Du hast zwei Aussagen. Beide sollst du beweisen.

nur dass er einmal zu S und einmal zu Q gehört.

ℚ ⊂ S mittels b := 0 in a+b·√2.