Stochastik Wahrscheinlichkeit berechnen

Question

ich habe echt Probleme mit dieser Aufgabe kann wer helfen ? 

N spieler des FC Schalke versammlen sich Arm in Arm in einem Kreis.
Jeder Spieler hat somit rechts wie links jeweils einen Teamkollegen im Arm, wobei die Anordnung der Spieler zufällig geschieht. Der Kreis besteht aus mind. fünf Spielern also N ≥ 5.

a.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die drei Spieler Ralf Fährmann,Naldo und Guido Burgstaller nebeneinander stehen, vorausgesetzt, dass alle drei im Kreis stehen.

b.) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei der drei Spieler Ralf Fährmann,Naldo und Guido Burgstaller nebeneinander stehen.


Mein Hauptproblem derzeit ist dass N keine feste Zahl ist.
Bei den vorherigen Teilaufgaben hatten wir so was wie :
wie viele Möglichkeiten gibt es für die 4 von 7 Spielern ausgewechselt zu werden.
Mit so was konnte ich mehr anfangen.


LG Hans Jörg

Answer 1

a)

Dann überlege es dir für feste Werte von n. Also n = 5, n = 6, n = 7

Dann verallgemeinerst du es einfach für n.

Ich komme vereinfacht auf

P = 6 / ((n - 1)·(n - 2))

Comments

Für n = 5 wären das dann doch 5 über 3 oder nicht ? Also als Binomialkoeffizient aber damit komme ich ja nicht auf eine Wahrscheinlichkeit

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(5 über 3) ist die Anzahl der Möglichkeiten aus den 5 Leuten 3 Auszuwählen. Und richtig. Das sind Möglichkeiten und keine Wahrscheinlichkeit.

Aber wie kommt man von Möglichkeiten zu einer Wahrscheinlichkeit? Benutze die Wahrscheinlichkeitsdefinition nach Laplace.

Allerdings bist du auch noch bei der Berechnung der Möglichkeiten weit vom gewünschten entfernt.

Also

Wahrscheinlichkeit nach Laplace ist Anzahl für ein Ereignis günstigen Möglichkeiten geteilt durch die Gesamtanzahl aller Möglichkeiten.

Das bedeutet. Wie viele Möglichkeiten hat man 5 Leute im Kreis anzuordnen. Stelle also 5 Stühle im Kreis auf und frag nach der Anzahl wie die 5 Leute darauf Platz nehmen können. Diese Anzahl kommt in den Nenner.

Nun frage dich wie viele Möglichkeiten es gibt, bei denen die 3 Spieler nebeneinander Sitzen. Diese Anzahl kommt dann in den Zähler.

Das schöne ist das wars dann schon. Damit hat man die Wahrscheinlichkeit.

Achso. Es kann helfen 5 bunte Steine zu nehmen und es tatsächlich mal auszuprobieren.

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"Das bedeutet. Wie viele Möglichkeiten hat man 5 Leute im Kreis anzuordnen. Stelle also 5 Stühle im Kreis auf und frag nach der Anzahl wie die 5 Leute darauf Platz nehmen können. Diese Anzahl kommt in den Nenner." 

Dies sind bei unserem Beispiel jetzt 5! = 120

"Nun frage dich wie viele Möglichkeiten es gibt, bei denen die 3 Spieler nebeneinander Sitzen. Diese Anzahl kommt dann in den Zähler."

Steinchen hatte ich keine da aber hab es mit Karten versucht und wenn ich keine Kombination vergessen habe dann sind dies 30 Möglichkeiten.

Also hat man bei n = 5 eine Wahrscheinlichkeit von 30/120 = 1/4 = 25%  ? 

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Ich komme statt auf 30 auf 60 Möglichkeiten. Da ich deine Rechnung nicht kenne kann ich das auch nicht beurteilen.

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Ich habe die Karten wirklich wie ein Kreis ausgebreitet und bin verschiedene Kombinationen durchgegangen xD 

Also quasi so :  

s₁ s₂ s₃ sind die Spieler die nebeneinander sein sollen :

                                 s₁
                            s₅                s₂
                                 s₄       s₃


und dann die Karten durchgetauscht.
Wie kommt man denn sonst noch drauf ?

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Du wählst zunächst die 3 Stühle nebeneinander aus worauf die drei Spieler nebeneinander Sitzen sollen. Dafür hast du 5 Möglichkeiten.

Dann können die 3 Spieler auf diesen Plätzen in 3! Anordnungen sitzen.

Die 2 übrigen Spieler kann ich in 2! Anordnungen platzieren.

Gibt also insgesamt

5 * 3! * 2! Möglichkeiten.

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So einfach ist das ? Und ich hab ohne Witz zig verschiedene Möglichkeiten mit den Karten durchgespielt mein Blatt ist voll mit verschiedenen Kombinationen xD 

Ok dann hat man für

n = 5 :  (5*3!*2!)/5! = 60/120 = 1/2

n = 6 : (6*3!*3!)/6! = 3/10

n=7 : (7*3!*4!)/7! = 1/5

Allgemein : 

(n * 3! * (n-3)!)/n!  

oder ist da jetzt noch was falsch ?

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So hätte ich das auch. Ich habe es nur noch vereinfacht zu

n·3!·(n - 3)! / n!

= n·3!·(n - 3)!·(n - 2)·(n - 1)·n / (n!·(n - 2)·(n - 1)·n)

= n·3!·n! / (n!·(n - 2)·(n - 1)·n)

= 3!·n! / (n!·(n - 2)·(n - 1))

= 3! / ((n - 2)·(n - 1))

= 6 / ((n - 1)·(n - 2))

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ja ok das ist auch verständlich dann wäre die 

b.) 

da wir nun mindestens zwei der drei Spieler nebeneinander haben dürfen müssen wir die Fälle für zwei Spieler nebeneinander und drei Spieler nebeneinander betrachten.

n = 5 

(5*2!*3! / 5! ) + (5*3!*2! / 5! ) = 1 
was mir auch logisch erschien da man bei 5 Leuten immer zwei von drei nebeneinander hat.

n = 6 

(6*2!*4! / 6!) + (6*3!*3! / 6!) = 7/10

n = 7

(7*2!*5! / 7!) + 7*3!*4! / 7! = 8/15

Allgemein :

(n*2!*(n-2)! / n!) + (n*3!*(n-3)! / n!)

=  (2 * (n-2) + 6) / ((n-1)(n-2))

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Sitze auch an der Aufgabe und verstehe nicht so ganz wie es im Kreis mit N Leuten N! Anordnungen gibt, ein Beispiel(N = 5):

                             1                                                                    5

                5                        2                                          4                           1

                       4           3                                                      3             2

 sind für mich nicht zwei mögliche Anordnung, sondern die gleiche, da man den Kreis einfach um einen drehen muss.

Ich hab mir überlegt dass eines der Elemente fest gehalten werden muss um die Permutationen des Drehens weg zu bekommen und damit ergeben sich (N-1)! insgesamte Anordnungen. Weiterhin gibt es für die a) 3! Möglichkeiten die drei Spieler Ralf Fährmann,Naldo und Guido Burgstaller nebeneinander zu stellen. Dabei bleiben (N-3) Leute im Kreis übrig, die man noch permutieren kann, wobei man wieder auf die gleichen Permutationen innerhalb des Kreises achten muss.Ich komme dann am Ende für n = 5 auf :

3!(N-4)!/(N-1)! = 6/((N-1)(N-2)(N-3))

Anderer Ansatz (wieder N = 5) :

Dass die 3 nebeneinander sitzen ist ja äquivalent zur Fragestellung ob die anderen 2 im Kreis nebeneinander sitzen, da dann automatisch Naldo etc auch nebeneinander sitzen müssen. Von einem der 2 ausgehend: wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass der andere daneben sitzt : von den 4 verbleibenden Leuten suche ich einen -> 1/4 (das gleiche Ergebnis wie oben in der Formel für N = 5).

allgemein gilt bei dem Ansatz dann :

3!(N-4)!/(N-1)! = 6/((N-1)(N-2)(N-3))

Bin jetzt irgendwie verwirrt ...

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sind für mich nicht zwei mögliche Anordnung, sondern die gleiche, da man den Kreis einfach um einen drehen muss.

Nummeriere doch einfach die Stühle durch. Dann ist eine Drehung tatsächlich eine andere Sitzposition.

Es ist oft einfacher diesen Ringtausch als andere Sitzordnung aufzufassen. Solange ich das bei der Anzahl der günstigen und der Anzahl aller Möglichkeiten gleich handhabe ist es völlig egal. Da kommt bei richtiger Rechnung die gleiche Wahrscheinlichkeit heraus.

Es ist halt nur einfacher im Nenner einfach 5! zu schreiben.

Wenn du im Nenner 5!/5 schreiben willst also den Ringtausch nicht extra zählen möchtest, kannst du bei der Zählung der günstigen Möglichkeiten den Ring so drehen das die Drei Personen auf Stuhl 1, 2 und 3 sitzen.

Dann hast du im Zähler nur noch 3!*(5-3)!

Also

3!*(5-3)! / (5!/5) = 1/2

Wie gesagt sollte man durch akribisches Auszählen auf die gleiche Anzahl Möglichkeiten kommen.

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@HansJ
n = 6 
(6*2!*4! / 6!) + (6*3!*3! / 6!) = 7/10

Willst du mal probieren die Anzahl der günstigen Möglichkeiten tatsächlich abzuzählen.

Für 3 Nebeneinander sollten das ja 216 sein.

Für genau 2 Nebeneinander hast du 288 und ich 432.

So bekomme ich als gesamte Formel für mind. 2 Sitzen zusammen

P = 6·(n - 3) / ((n - 1)·(n - 2))

Man kann auch ein Computerprogramm schreiben, was die Möglichkeiten abzählt, wenn einem das per Hand zu Mühsam ist.

Man bildet also alle Permutationen von 1 2 3 4 5 6 und schaut wo 1 2 und 3 wirklich getrennt sitzen.

Schau also ob rechts und links der 1 keine 2 oder 3 steht und schau links und rechts von der 2 ob dort keine 3 steht.

Beachte, dass die Stühle mit den Nummern 1 und 6 im Kreis auch zusammen stehen.

Sitzt also Auf Stuhl 1 die Person 1 dann darf auf Stuhl 2 und 6 nicht die Personen 2 und 3 sitzen.