Beweuse mit vollständiger Induktion, dass für alle natürlichen Zahlen n >= 10 gilt : n! > 2^ n > n^3.

Question

Zeige Sie mit vollständiger Induktion:

Die Gültigkeit der Ungleichungen :

Für alle natürlichen Zahlen n >= 10 gilt:

n! > 2^n > n^3.

Comments

2ⁿ⁺¹=2·2ⁿ>2·n³-(n-4)·(n²+n+1)=n³+3n²+3n+4=(n+1)³+3>(n+1)³.

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den Schritt verstehe ich nicht: 2·2n>2·n3-(n-4)·(n2+n+1)

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2ⁿ>n³ gilt nach Induktionsvoraussetzung. Außerdem gilt (n-4)·(n²+n+1)>0 für alle n>4.

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Okay, 2·2^n>2·n^3 verstehe ich als Induktionsvoraussetzung, jeweils mit 2 multipliziert

Hier stehe völlig auf dem Schlauch, wie komme ich darauf:

(n-4)·(n2+n+1)>0 für alle n>4

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Das Produkt zweier positiver Zahlen ist immer positiv. Die Faktoren sind so gewählt, dass das gewünschte Resultat entsteht.

Answer 1

zeige zuerst, dass für alle n ≥ 10 2^n > n^3 gilt und dann n! > 2^n.

Comments

Alles klar,  Danke für die schnelle Antwort.

Für n!> 2^n lautet die Lösung unserer Meinung nach:

(n+1)! > 2^{n+1}

n! * (n+1) > 2^n × 2

Da n! > 2^n, muss nur bewiesen werden, dass auch n+1 > 2 ist.

Dies gilt für n> 10.

Soweit iO?

Bei 2^n > n^3 hängen wir noch:

2^{n+1} > (n+1)^3

2^n × 2 > n3 + 3 n^2 +3 n +1

Und dann?

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(n+1)! > 2^{n+1}

Das behauptest du ja schon. Du musst aber deine Induktionsvoraussetzung verwenden, um auf der rechten Seite raus zu kommen. Stell dir das wie eine Treppe vor. Nur musst deine Abschâtzungen nach unten so wählen, sodass du nicht ,,zu tief fällst".

Du fängst so an :$$ (n+1)!=(n+1)\cdot n!\stackrel{(IV)}{>} (n+1)\cdot 2^n>...$$

Wie kannst du jetzt noch weitermachen?

Und genauso verfährst du bei solchen Beweisen immer.