bijektive abbildung surjektiv gruppen

Question

ich habe folgenden Satz im Skript.

Sei G eine Gruppe mit H ≤ G. Dann ist für alle x ∈ G die Abbildung
f_x : H → xH : h → xh eine Bijektion. Insbesondere gilt: |H| = |xH|
(∀x ∈ G).

Ich versteh leider nicht, warum die Abbildung bijektiv ist.

Injektiv könnt ich mir vielleicht so erklären, wenn ich das x fix wähle, dann bild ich ja jedes h auf ein anderes xh ab.

Nur ich kann mir nicht erklären, warum die Abbildung surjektiv ist.

Würd mich über eure Hilfe freuen:)

Answer 1

Sei b∈xH. Dann ist xh = b für ein h∈H laut Definition von xH. Es ist xh = f_x(h), also ist f_x surjektiv.

Seien h, h' ∈ H mit f_x(h) = f_x(h'). Dann ist xh = xh' laut Definition von f_x. Also ist auch x^-1xh = x^-1xh' und somit h = h'. Also ist f_x injektiv.