Effektivzinsrechnung mit Versuchszinssätzen

Question

Aufgabe:

Eine staatliche Anleihe wird mit 7,5 % p. a. nominal verzinst. Sie hat einen Nennwert von 100 Euro, eine Restlaufzeit von 6 Jahren und wird derzeit zu einem Kurs von 92 Euro angeboten.
a)Welche Effektivverzinsung (Rendite) können Sie erzielen, wenn Sie diese Anleihe heute erwerben und dann bis zum Ende der Laufzeit halten? (Versuchszinssätze 9 % und 10 %)

Mein Lösungsansatz:

Nennwert: 100€; Nominalwert: 92€; Nominalzins: 7.5%; Laufzeit: 6 Jahre

\( \mathrm{i}(\mathrm{eff})=100 \cdot\left(\frac{7.5+\left(\frac{100-92}{6}\right)}{92}\right) \)

i(eff)=100*((7.5+((100-92)/6))/92)

i(eff)=9,601%

Musterlösung: 9,3056%

Mein Ergebnis weicht vom Lösungsergebnis ab und ich finde leider keinen Weg die Versuchszinssätze zu verwenden... ansonsten könnte ich die beiden Ergebnisse der Versuchszinsen linear interpolieren. Ich denke dies wird der korrekte Weg sein, aber welchen ich, da ich nicht weiß wie ich die Veruschszinssätze verrechnen soll, beschreiten kann.

Answer 1

"dynamische Verfahren" über der Aufgabenstellung und die Angabe von Versuchszinssätzen deuten darauf hin, dass du auch die Zinseszinsen berücksichtigen sollst, was du aber bei deinem Lösungsansatz nicht getan hast. Die Rendite oder der Effektivzinssatz könnte \( z . B . \) über folgende Äquivalenzgleichung berechnet werden:
\( C_{0}=p \cdot \frac{q^{n}-1}{(q-1) \cdot q^{n}}+\frac{C_{n}}{q^{n}} \)
\( C_{0} \ldots \) Preis für den Erwerb der Anleihe im Nennwert von \( 100 \epsilon . \) \( C_{0} \) ist der mittels Effektivzinssatz abgezinste Barwert sämtlicher zukünftiger Gegenleistugen aus der Anleihe. Er ergibt sich aus der Abzinsung von \( C_{n} \) und der der jährlichen Zinszahlungen über die gesamte Laufzeit.
\( p \ldots \) Nominalzinssatz, jährliche Zinszahlung pro \( 100 \in \) Nennwert, erste Zahlung ein Jahr nach Erwerb, letzte Zahlung bei Rücknahme.
\( C_{n} \ldots \) Rücknahmekurs am Ende der Laufzeit von \( n \) Jahren.
\( q=1+i_{e f f} \ldots \) effektiver Jahreszinsfaktor
\( i_{\text {ef } f} \ldots \) Rendite oder Effektivzinssatz. Bei diesem Zinssatz ist die Leistung des Käufers der Anleihe äquivalent zu den Gegenleistungen des Emittenten.
Weil diese Gleichung elementar nicht nach \( q \) auflösbar ist, solltst du mit den Versuchszinssätzen rechnen und ggf. interpolieren.

Im Rahmen zur Bestimmung des internen Zinsfußes kann man duch lineare Interpolation diese bestimmen. Damit nicht jeder andere Zinssätze verwendet, sind diese vorgegeben. Der eine Zinssatz über, der andere unterhalb dem internen Zinsfuß. Anschließend werden diese Werte zusammeninterpoliert um einen ungefähren Wert des internen Zinsfußes zu erhalten, da bei den dynamischen Verfahren dieser sonst nicht per Hand errechnet werden kann. Dabei gilt natürlich je näher die Versuchszinssätze beieinander liegen, desto genauer das Ergebnis.

\( i_{1}=9, i_{2}=10, C_{2}=93,2711 \) und \( C_{1}=89,1118 \), so dass du folgende Gleichung erhältst:
\( \frac{10-9}{93,2711-89,1118}=\frac{10-i_{0}}{92-89,1118} \)

Wenn du die nach \( i_{0} \) auflöst und ausrechnest solltest du 9,3056 erhalten.

Quelle: https://www.onlinemathe.de/forum/Effektivzinsrechnung-mit-Versuchszinssaetzen